91.  Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{{{\rm{e}}^x} + 3}}} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\). \(F\left( 1 \right)\) có giá trị thuộc khoảng

Câu hỏi:

91.  Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{{{\rm{e}}^x} + 3}}} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\). \(F\left( 1 \right)\) có giá trị thuộc khoảng

A. \(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

B. \(\left( {1;\,\frac{3}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{1}{2};\,1} \right)\).

D. \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).

Lời giải

\(\int {\sqrt {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{{{\rm{e}}^x} + 3}}} } {\rm{d}}x = \int {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{\sqrt {{{\rm{e}}^x}\left( {{{\rm{e}}^x} + 3} \right)} }}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \sqrt {{{\rm{e}}^x}}  + \sqrt {{{\rm{e}}^x} + 3} \)\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{2\sqrt {{{\rm{e}}^x}} }} + \frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{2\sqrt {{{\rm{e}}^x} + 3} }}} \right){\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^x}\left( {\sqrt {{{\rm{e}}^x} + 3}  + \sqrt {{{\rm{e}}^x}} } \right)}}{{2\sqrt {{{\rm{e}}^x}\left( {{{\rm{e}}^x} + 3} \right)} }}{\rm{d}}x\)\( \Rightarrow 2\frac{{{\rm{d}}t}}{t} = \frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{\sqrt {{{\rm{e}}^x}\left( {{{\rm{e}}^x} + 3} \right)} }}{\rm{d}}x\). 

\(\int {\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{\sqrt {{{\rm{e}}^x}\left( {{{\rm{e}}^x} + 3} \right)} }}{\rm{d}}x}  = 2\int {\frac{{{\rm{d}}t}}{t}}  = 2\ln \left| t \right| + C = 2\ln \left( {\sqrt {{{\rm{e}}^x}}  + \sqrt {{{\rm{e}}^x} + 3} } \right) + C\).

\(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 2\ln 3 + C = 1 \Rightarrow C = 1 – 2\ln 3\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = 2\ln \left( {\sqrt {{{\rm{e}}^x}}  + \sqrt {{{\rm{e}}^x} + 3} } \right) + 1 – 2\ln 3\).

\(F\left( 1 \right) = 2\ln \left( {\sqrt {\rm{e}}  + \sqrt {{\rm{e}} + 3} } \right) + 1 – 2\ln 3 \approx 1,6\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân