Câu hỏi:
83. Biết \(\int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{{\rm{e}}^{2x}} + 1} – {{\rm{e}}^x}}}} {\rm{d}}x = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a – \sqrt b {\rm{ }}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^ + }\).
Tính \(P = a + b\)?
A. \(P = – 1\).
B. \(P = 1\).
C. \(P = 3\).
D. \(P = 5\).
Lời giải
Ta có:
\(I = \int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{{\rm{e}}^{2x}} + 1} – {{\rm{e}}^x}}}} {\rm{d}}x = \int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\left( {\sqrt {{{\rm{e}}^{2x}} + 1} + {{\rm{e}}^x}} \right)} {\rm{d}}x = \int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\sqrt {{{\rm{e}}^{2x}} + 1} } {\rm{d}}x + \int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {{{\rm{e}}^x}} {\rm{d}}x\)
\(\int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {{{\rm{e}}^x}} {\rm{d}}x = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } = 2\sqrt 2 – \sqrt 3 \)
\(\int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\sqrt {{{\rm{e}}^{2x}} + 1} } {\rm{d}}x.{\rm{ }}\) Đặt\({\rm{ }}t = \sqrt {{{\rm{e}}^{2x}} + 1} \Leftrightarrow {t^2} = {{\rm{e}}^{2x}} + 1\) suy ra \(2t{\rm{d}}t = 2{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \frac{{t{\rm{d}}t}}{{{{\rm{e}}^{2x}}}} = \frac{{t{\rm{d}}t}}{{{t^2} – 1}}\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \ln \sqrt 3 \to t = 2}\\{x = \ln \sqrt 8 \to t = 3}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\(\int_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\sqrt {{{\rm{e}}^{2x}} + 1} } {\rm{d}}x = \int_2^3 {\frac{{{t^2}dt}}{{{t^2} – 1}}} {\rm{d}}t = \int_2^3 {\left( {1 + \frac{1}{{{t^2} – 1}}} \right)} {\rm{d}}t = \left. {\left( {t + \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right|} \right)} \right|_2^3 = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\)
Vậy \(I = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2} + 2\sqrt 2 – \sqrt 3 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 3}\end{array} \Rightarrow P = a + b = 5} \right.\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân
Trả lời