82.   Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x}}{{1 + \sin x}}\,{\rm{d}}x}  = a\sqrt b  – 1\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = ab\).

Câu hỏi:

82.   Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}x}}{{1 + \sin x}}\,{\rm{d}}x}  = a\sqrt b  – 1\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = ab\).

A. \(T = 1\).

B. \(T = 2\).

C. \(T = 3\).

D. \(T = 4\).

Lời giải

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.\,{\rm{cos}}x}}{{1 + \sin x}}\,{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow {\rm{d}}t\, = {\rm{cos}}x\,{\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0\).

\(x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\frac{{4\left( {1 – {t^2}} \right)}}{{t + 1}}\,{\rm{d}}t}  = 4\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left( {1 – t} \right)\,{\rm{d}}t}  = 4\left. {\left( {t – \frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} = 2\sqrt 2  – 1 \Rightarrow a = 2,\,b = 2 \Rightarrow T = ab = 4\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân