81. Cho \(\int\limits_0^1 {{x^3}.\sqrt {{x^2} + 1} \,{\rm{d}}x}  = \frac{{a\left( {\sqrt b  + 1} \right)}}{c},\,a,b,c \in \mathbb{Z},\,\)\(\frac{a}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(S = a + b + c\).

Câu hỏi:

81. Cho \(\int\limits_0^1 {{x^3}.\sqrt {{x^2} + 1} \,{\rm{d}}x}  = \frac{{a\left( {\sqrt b  + 1} \right)}}{c},\,a,b,c \in \mathbb{Z},\,\)\(\frac{a}{c}\) là phân số tối giản. Tính \(S = a + b + c\).

A. \(18\).

B. \(17\).

C. \(16\).

D. \(19\).

Lời giải

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = \,{x^2} + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t\,{\rm{d}}t\, = \,x\,{\rm{d}}x\\{x^2} = {t^2} – 1\end{array} \right.\) .

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1\).

\(x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \). 

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {{x^3}.\sqrt {{x^2} + 1} \,{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {{x^2}.\sqrt {{x^2} + 1} \,.\,x\,{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {t\left( {{t^2} – 1} \right)\,t{\rm{d}}t}  = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^4} – {t^2}} \right)\,{\rm{d}}t}  = \left. {\left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_1^{\sqrt 2 }\)

\( = \frac{{2\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{{15}} \Rightarrow a = 2,\,b = 2,\,c = 15 \Rightarrow S = a + b + c = 19\) .

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân