80. Cho \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\ln 2 + b\ln 3}}{2},\,\left( {a,\,b\, \in \mathbb{Z}} \right)\). Giá trị của \(S = 2a + 3b\) bằng

Câu hỏi:

80. Cho \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}{\rm{d}}x}  = \frac{{a\ln 2 + b\ln 3}}{2},\,\left( {a,\,b\, \in \mathbb{Z}} \right)\). Giá trị của \(S = 2a + 3b\) bằng

A. \(9\).

B. \(11\).

C. \(19\).

D. \(1\).

Lời giải

Ta có: \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_2^3 {\frac{x}{{{x^2}\left( {{x^2} – 1} \right)}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = {x^2} – 1 \Rightarrow {\rm{d}}t\,\, = \,\,2x\,{\rm{d}}x\) và \({x^2} = t + 1\).

Đổi cận: \(x = 2 \Rightarrow t = 3\).

\(x = 3 \Rightarrow t = 8\). 

Ta có: \(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_2^3 {\frac{x}{{{x^2}\left( {{x^2} – 1} \right)}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{2}\int\limits_3^8 {\frac{1}{{t\left( {t + 1} \right)}}{\rm{d}}t}  = \frac{1}{2}\int\limits_3^8 {\left( {\frac{1}{t} – \frac{1}{{t + 1}}} \right){\rm{d}}t}  = \frac{1}{2}\left. {\left[ {\ln t – \ln \left( {t + 1} \right)} \right]} \right|_3^8\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\ln 8 – \ln 9} \right) – \left( {\ln 3 – \ln 4} \right)} \right] = \frac{{5\ln 2 – 3\ln 3}}{2} \Rightarrow a = 5,\,b =  – 3\).

Vậy \(S = 2a + 3b = 1\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân