75: \(\int {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{{x^2} – 5x + 4}} \cdot {e^{7x – 3}} + \cos 2x} \right)} \,{\rm{d}}x\) có dạng \(\frac{a}{6}{e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{2}sin\,2x + C\), trong đó \(a,\,\,b\) là hai số hữu tỉ. Tính \(a + b\).

Câu hỏi:

75: \(\int {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{{x^2} – 5x + 4}} \cdot {e^{7x – 3}} + \cos 2x} \right)} \,{\rm{d}}x\) có dạng \(\frac{a}{6}{e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{2}sin\,2x + C\), trong đó \(a,\,\,b\) là hai số hữu tỉ. Tính \(a + b\).

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(5\).

D. \(6\).

Lời giải

Ta có:

\(\int {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{{x^2} – 5x + 4}} \cdot {e^{7x – 3}} + \cos 2x} \right)} \,{\rm{d}}x\).

\( = \int {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{\left( {{x^2} – 5x + 4} \right) + \left( {7x – 3} \right)}} + \cos 2x} \right)} \,{\rm{d}}x\)

\( = \int {\left( {x + 1} \right){e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \,{\rm{d}}x + \int {\cos 2x\,{\rm{d}}x} \)

Để tìm \(\int {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{\left( {{x^2} – 5x + 4} \right)}} \cdot {e^{7x – 3}} + \cos 2x} \right)} \,{\rm{d}}x\) ta đặt \({I_1} = \int {\left( {x + 1} \right){e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \,{\rm{d}}x\) và \({I_2} = \int {\cos 2x\,{\rm{d}}x} \) và tìm \({I_1},\,{I_2}\).

*Tìm \({I_1} = \int {\left( {x + 1} \right){e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \,{\rm{d}}x\).

Đặt \(t = {\left( {x + 1} \right)^2};\,{\rm{d}}t = 2\left( {x + 1} \right){\left( {x + 1} \right)^\prime }{\rm{d}}x = 2\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x\).

\({I_1} = \int {\left( {x + 1} \right){e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \,{\rm{d}}x = \int {\frac{1}{2}{e^t}{\rm{d}}t = \frac{1}{2}{e^t} + {C_1} = \frac{1}{2}{e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {C_1}} \), trong đó \({C_1}\) là 1 hằng số.

*Tìm \({I_2} = \int {\cos 2x\,{\rm{d}}x} \).

\({I_2} = \int {\cos 2x\,dx}  = \frac{1}{2}\sin \,2x + {C_2}\).

Ta có\(\int {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{{x^2} – 5x + 4}} \cdot {e^{7x – 3}} + \cos 2x} \right)} \,{\rm{d}}x\)\( = {I_1} + {I_2} = \frac{1}{2}{e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {C_1} + \frac{1}{2}\sin \,2x + {C_2}\)

\( = \frac{1}{2}{e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{2}sin\,2x + C\)

Suy ra để \(\int {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{{x^2} – 5x + 4}} \cdot {e^{7x – 3}} + \cos 2x} \right)} \,{\rm{d}}x\) có dạng \(\frac{a}{6}{e^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{2}sin\,2x + C\) 

thì \(a = 3 \in \mathbb{Q}\), \(\,b = 1 \in \mathbb{Q}\)

Vậy \(a + b = 4\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân