74.  Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}\) là

Câu hỏi:

74.  Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}\) là

A. \(x + \ln \left| {2\sin x} \right| + C\).

B. \(\frac{2}{5}x – \frac{1}{5}.\ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C\).

C. \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}.\ln \left| {2\cos x – \sin x} \right| + C\).

D. \(\frac{1}{5}x + \frac{2}{5}.\ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C\).

Lời giải

\(I = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\frac{{\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = \int {\frac{{\frac{2}{5}\left( {2\sin x + \cos x} \right) – \frac{1}{5}\left( {2\cos x – \sin x} \right)}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \)

\( = \int {\left[ {\frac{2}{5} – \frac{1}{5}.\frac{{2\cos x – \sin x}}{{2\sin x + \cos x}}} \right]{\rm{d}}x}  = \int {\frac{2}{5}{\rm{d}}x – \frac{1}{5}\int {\frac{{2\cos x – \sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} } \). 

Xét \({I_1} = \int {\frac{{2\cos x – \sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \). 

Đặt \(t = 2\sin x + \cos x \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {2\cos x – \sin x} \right){\rm{d}}x\).

Suy ra: \({I_1} = \int {\frac{1}{t}{\rm{d}}t}  = \ln \left| t \right| + C \Rightarrow {I_1} = \ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C\)

Vậy: \(I = \frac{2}{5}x – \frac{1}{5}.\ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C\). 

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân