71.  Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left[ {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right]^2}\left( {2x + 3} \right)\) là

Câu hỏi:

71.  Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left[ {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right]^2}\left( {2x + 3} \right)\) là

A. \(\frac{{{{\left( {{x^2} + 3x} \right)}^5}}}{5} + {\left( {{x^2} + 3x} \right)^4} + \frac{4}{3}{\left( {{x^2} + 3x} \right)^3} + C\). B.\({\left( {{x^2} + 3x} \right)^4} + {\left( {{x^2} + 3x} \right)^2} + C\).

C.\(5{\left( {{x^2} + 3x} \right)^5} + {\left( {{x^2} + 3x} \right)^4} + 12.{\left( {{x^2} + 3x} \right)^3} + C\). D.\(\frac{{{{\left( {{x^2} – 3x} \right)}^5}}}{4} + {\left( {{x^2} – 3x} \right)^4} + \frac{4}{5}{\left( {{x^2} – 3x} \right)^3} + C\).

Lời giải

\(I = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {{{\left[ {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right]}^2}\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x}  = \int {{{\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)} \right]}^2}\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = {x^2} + 3x \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x\).

Suy ra: \(I = \int {{{\left[ {t\left( {t + 2} \right)} \right]}^2}{\rm{d}}t}  = \int {{{\left( {{t^2} + 2t} \right)}^2}{\rm{d}}t}  = \int {\left( {{t^4} + 4{t^3} + 4{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\( = \frac{{{t^5}}}{5} + {t^4} + \frac{4}{3}{t^3} + C\)\( \Rightarrow I = \frac{{{{\left( {{x^2} + 3x} \right)}^5}}}{5} + {\left( {{x^2} + 3x} \right)^4} + \frac{4}{3}{\left( {{x^2} + 3x} \right)^3} + C\). 

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân