52. Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\) là

Câu hỏi:

52. Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\) là

A. \(\frac{1}{8}\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\).

B. \(\frac{1}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\).

C. \(\frac{3}{8}\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\).

D. \(\frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\).

Lời giải

Đặt \(t = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\)\( \Rightarrow {t^3} = {x^2} + 1\)\( \Rightarrow 3{t^2}{\rm{d}}t = 2x{\rm{d}}x\)\( \Rightarrow x{\rm{d}}x = \frac{{3{t^2}{\rm{d}}t}}{2}\).

Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {x\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{3{t^3}{\rm{d}}t}}{2}}  = \frac{3}{8}{t^4} + C\)\( = \frac{3}{8}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + C\).

Đáp án D.

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân