51. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}\) là

Câu hỏi:

51. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}\) là

A. \(\frac{1}{{3\sqrt {{x^3} + 1} }} + C\).

B. \(\frac{2}{3}\sqrt {{x^3} + 1}  + C\).

C. \(\frac{2}{{3\sqrt {{x^3} + 1} }} + C\).

D. \(\frac{1}{3}\sqrt {{x^3} + 1}  + C\).

Lời giải

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \)\( \Rightarrow {t^2} = {x^3} + 1\)\( \Rightarrow 2t{\rm{d}}t = 3{x^2}{\rm{d}}x\)\( \Rightarrow {x^2}{\rm{d}}x = \frac{{2t{\rm{dt}}}}{3}\).

Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} \,{\rm{d}}x = \int {\frac{{2t}}{{3t}}} {\rm{d}}t\)\( = \frac{2}{3}\int {{\rm{d}}t}  = \frac{2}{3}t + C\)\( = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3} + 1}  + C\).

Đáp án B.

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân