492. Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( P \right):5x + by + cz + d = 0\) đi qua hai điểm \(A\left( { – 1;5;7} \right)\), \(B\left( {4;2;3} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 3b – 2c\)

Câu hỏi:
492. Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( P \right):5x + by + cz + d = 0\) đi qua hai điểm \(A\left( { – 1;5;7} \right)\), \(B\left( {4;2;3} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 3b – 2c\)

A. \(6.\)

B. \(1.\)

C. \(9.\)

D. \(\frac{1}{2}.\)

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 1;2;3} \right),\) bán kính \(R = 5\)

\(A\left( { – 1;5;7} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{5b + 7c + d = 5}&{(1)}\end{array}\)

\(B\left( {4;2;3} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{2b + 3c + d = – 20}&{(2)}\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có \(b = 4d + 155;c = – 3d – 110.\)

Mặt khác \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5x + by + cz + d} \right|}}{{\sqrt {25 + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{25}}{{\sqrt {25{d^2} + 1900d + 36125} }}\)

Mà \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất có bán kính

\(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}} \)

Do để đường tròn có chu vi nhỏ nhất thì \(d{\left( {I,\left( P \right)} \right)_{\max }}\)

Mà \(\sqrt {25{d^2} + 1900d + 36125} = \sqrt {25{{\left( {d + 38} \right)}^2} + 25} \ge 5\) nên \(d{\left( {I,\left( P \right)} \right)_{\max }} = 5\) khi \(d = – 38\)

Khi đó \(b = 3;c = 4\)

Vậy \(T = 3b – 2c = 1.\)

=======