B. \(2x + 2y – z + 8 = 0\).
C. \(2x + 2y – z + 3 = 0\).
D. \(2x + 2y – z + 11 = 0\).
Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1; – 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 3 \).
Gọi \(h,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón.
Ta có: \(h = IH = \sqrt {I{M^2} – H{M^2}} = \sqrt {{R^2} – {r^2}} \).
Thể tích khối nón: \(V = \pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} – {r^2}} \).
Xét hàm \(f(r) = 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} – {r^2}} \) trên \(\left( {0;R} \right)\) ta có:
\(f'(r) = \frac{{2\pi \left( {2r{R^2} – 3{r^3}} \right)}}{{\sqrt {{R^2} – {r^2}} }}\); \(f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}R\).
Lập bảng biến thiên của hàm \(f(r)\) trên \(\left( {0;R} \right)\) ta suy ra được
\({V_{\max }} = \mathop {\max }\limits_{(0;R)} f(r) = f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}R} \right)\) xảy ra khi \(r = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}R = 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow h = 2\).
Vì \((Q)//(P)\) nên \((Q):2x + 2y – z + c = 0\), \(c \ne – 1\).
Ta có \(h = d\left( {I;(Q)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {c – 5} \right|}}{3} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 11\\c = – 1\end{array} \right.\) (loại \(c = – 1\)).
Vậy \(\left( Q \right):2x + 2y – z + 11 = 0\).
☞ Ta có thể sử dụng Bất đẳng thức AM-GM như sau:
Ta có: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \pi {r^2}\sqrt {{R^2} – {r^2}} = \pi \sqrt 2 .\sqrt {{r^2}.{r^2}.\left( {24 – 2{r^2}} \right)} \le \pi \sqrt 2 .\sqrt {\frac{{{{24}^3}}}{{27}}} = 32\pi \).
Vậy \({V_{\max }} = \) khi \({r^2} = 24 – 2{r^2} \Leftrightarrow r = 2\sqrt 2 \).
=======
Trả lời