39. Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x{\rm{ln}}\left( {x + 1} \right)\) là 

Câu hỏi:

39. Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x{\rm{ln}}\left( {x + 1} \right)\) là 

A. \(\frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right){\rm{ln}}\left( {x + 1} \right) – \frac{1}{2}{\left( {x – 1} \right)^2} + C\).

B. \(\frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right){\rm{ln}}\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^2} + C\).

C. \(\frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right){\rm{ln}}\left( {x + 1} \right) – \frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^2} + C\).

D. \(\left( {{x^2} – 1} \right){\rm{ln}}\left( {x + 1} \right) – \frac{1}{2}{\left( {x – 1} \right)^2} + C\).

Lời giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\rm{ln}}\left( {x + 1} \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right.\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{{x + 1}}{\rm{d}}x\\v = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2} = \frac{{{x^2} – 1}}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó \(\int {x{\rm{ln}}\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right){\rm{ln}}\left( {x + 1} \right) – \frac{1}{2}\int {\left( {x – 1} \right){\rm{d}}x}  = } \frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right){\rm{ln}}\left( {x + 1} \right) – \frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^2} + C\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân