Câu hỏi:
35. Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(F\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} + \sqrt {{x^2} + 1} \).
B. \(F\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} – \sqrt {{x^2} + 1} \).
C. \(F\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}{3} + \sqrt {{x^2} + 1} \).
D. \(F\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}{3} – \sqrt {{x^2} + 1} \).
Lời giải
Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {u^2}\, = \,{x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} = {u^2} – 1\) và \(x{\rm{d}}x = u{\rm{d}}u\).
Ta có: \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \,\int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} \)\( = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}x{\rm{d}}x} \)\( = \int {\left( {\frac{{{u^2} – 1}}{u}} \right)u{\rm{d}}u} \) \( = \int {\left( {{u^2} – 1} \right){\rm{d}}u} \)\( = \frac{{{u^3}}}{3} – u + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}{3} – \sqrt {{x^2} + 1} + C\).
Vậy một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là \(\frac{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}{3} – \sqrt {{x^2} + 1} \).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tích phân
Trả lời