14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và đạo hàm \(f’\left( x \right) = x{\left( {{x^2} + 1} \right)^5}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó,\(f\left( 1 \right)\) bằng.

Câu hỏi:

14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và đạo hàm \(f’\left( x \right) = x{\left( {{x^2} + 1} \right)^5}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó,\(f\left( 1 \right)\) bằng.

A. \(\frac{{25}}{4}\).

B. \(\frac{{36}}{5}\).

C. \(\frac{{21}}{{10}}\).

D. \(\frac{{26}}{5}\).

Lời giải

Ta có \(\int\limits_0^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x = f\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array} = f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right)} \right.} \). Suy ra \(f\left( 1 \right) = f\left( 0 \right) + \int\limits_0^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1 + K\)

Với \(K = \int\limits_0^1 {x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^5}{\rm{d}}x} \)

Đặt \(t = {x^2} + 1\) \( \Rightarrow {\rm{d}}t = 2x{\rm{d}}x\). Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1;\,x = 1 \Rightarrow t = 2\).

\(\int\limits_0^1 {x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^5}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {{t^5}{\rm{d}}t}  = \frac{{{t^6}}}{{12}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{{63}}{{12}} = \frac{{21}}{4}\). Suy ra \(f\left( 1 \right) = 1 + \frac{{21}}{4} = \frac{{25}}{4}\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân