12. Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = a{x^3} + 2{x^2} + bx + 1\) và\(y = g\left( x \right) = c{x^2} + 4x + d\) có bảng biến thiên dưới đây. Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 9.\) Giá trị của \(P = 3a + b + c – 2d\)là

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
12. Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = a{x^3} + 2{x^2} + bx + 1\) và\(y = g\left( x \right) = c{x^2} + 4x + d\) có bảng biến thiên dưới đây. Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 9.\) Giá trị của \(P = 3a + b + c – 2d\)là

A. \(1\).

B. \(0\).

C. \(2\).

D. \(3\)

Lời giải

Ta có \(f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 4x + b\) là hàm số bậc hai, cùng bậc với \(g\left( x \right)\).

Mà từ đồ thị ta có hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\) nên \(f’\left( x \right) = k.g\left( x \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \(\left( {k \ne 0} \right).\)

\( \Leftrightarrow 3a{x^2} + 4x + b = k\left( {c{x^2} + 4x + d} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = kc\\4 = 4k\\b = kd\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\3a = c\\b = d\end{array} \right..\) (1)

Đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có tung độ đỉnh bằng \(1\) nên \(g\left( { – \frac{2}{c}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{c} – \frac{8}{c} + d = 1 \Leftrightarrow d = \frac{4}{c} + 1\). (2)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\):

\(a{x^3} + 2{x^2} + bx + 1 = c{x^2} + 4x + d \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {2 – c} \right){x^2} + \left( {b – 4} \right)x + 1 – d = 0\,\, & (*)\).

Theo giả thiết, phương trình (*) có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\) nên theo định lí Viet cho phương trình bậc ba, ta có \(\frac{{c – 2}}{a} = 9 \Leftrightarrow c – 2 = 9a\). (3)

Từ _{(1), (2) và (3) ta có hpt:} \(\left\{ \begin{array}{l}3a = c\\b = d\\d = \frac{4}{c} + 1\\c – 2 = 9a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = c\\b = d\\d = \frac{4}{c} + 1\\c – 2 = 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  – \frac{1}{3}\\b =  – 3\\c =  – 1\\d =  – 3\end{array} \right.\)_.

Với các giá trị trên thay vào (*) thì thỏa mãn phương trình có 3 nghiệm phân biệt có tổng bằng \(9\).

Vậy \(P = 3a + b + c – 2d = 3.\frac{{ – 1}}{3} – 3 – 1 + 6 = 1\).