100. Một chiếc lều vải du lịch dạng hình cong như hình bên . Khung chính bao gồm đáy là hình vuông cạnh \(2\,{\rm{m}}\) và hai xương dây \(a\), \(b\) nằm trên các đường parabol đỉnh \(S\). Biết chiều cao của lều là \(SO = 135\,{\rm{cm}}\), \(O\) là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều . 

Câu hỏi: 100. Một chiếc lều vải du lịch dạng hình cong như hình bên . Khung chính bao gồm đáy là hình vuông cạnh \(2\,{\rm{m}}\) và hai xương dây \(a\), \(b\) nằm trên các đường parabol đỉnh \(S\). Biết chiều cao của lều là \(SO = 135\,{\rm{cm}}\), \(O\) là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều . 

A. \(\frac{{27}}{{10}}\).

B. \(\frac{{26}}{9}\).

C. \(3\).

D. \(\frac{{30}}{{11}}\).

Lời giải

Gắn hệ trục như hình vẽ. Ta tính được \(OA = OB = \sqrt 2 \).

Gọi phương trình của đường \(a\) là \(y = a{x^2} + bx + c,\left( {a < 0} \right)\).

Ta có \(a\) đi qua các điểm \(A\left( { – \sqrt 2 ;0} \right),B\left( {\sqrt 2 ;0} \right),S\left( {0;\frac{{27}}{{20}}} \right)\).

Suy ra ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2a – \sqrt 2 b + c = 0\\2a + \sqrt 2 b + c = 0\\c = \frac{{27}}{{20}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  – \frac{{27}}{{40}}\\b = 0\\c = \frac{{27}}{{20}}\end{array} \right. \Rightarrow y =  – \frac{{27}}{{40}}{x^2} + \frac{{27}}{{20}}\).

Gọi \(I\left( {0;y} \right);y \in \left[ {0;\frac{{27}}{{20}}} \right)\). 

Mặt phẳng vuông góc \(Oy\) tại \(I\) cắt hình đã cho theo 1 thiết diện là hình vuông \(MNPQ\) có diện tích \(S\left( y \right)\).

Theo giả thiết trên các điểm \(M,\,N,\,P,\,Q\) cùng có tung độ bằng \(y\). Mà hai điểm \(M,\,P\) thuộc đường \(a\) có phương trình \(y =  – \frac{{27}}{{40}}{x^2} + \frac{{27}}{{20}}\).

Suy ra \({x^2} = \frac{{54 – 40y}}{{27}} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow M\left( { – \frac{{\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }};y} \right),P\left( {\frac{{\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }};y} \right)\).

\( \Rightarrow MP = \frac{{2\sqrt {54 – 40y} }}{{3\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt {108 – 80y} }}{{3\sqrt 3 }}\).

\( \Rightarrow S\left( y \right) = M{N^2} = \frac{{108 – 80y}}{{27}}\).

Suy ra thể tích chiếc lều là \(V = \int\limits_0^{\frac{{27}}{{20}}} {S\left( y \right){\rm{d}}y}  = \int\limits_0^{\frac{{27}}{{20}}} {\frac{{108 – 80y}}{{27}}} .{\rm{d}}y = \frac{{27}}{{10}}\,\,\left( {{m^3}} \right)\).

==================== Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân