Trong mặt phẳng cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(2\sqrt 2 \), phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn nửa đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (tham khảo hình vẽ).

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình trên quanh đường thẳng \(AC\) gần nhất với kết quả nào sau đây?

Trong mặt phẳng cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(2\sqrt 2 \), phía ngoài hình vuông vẽ thêm bốn nửa đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (tham khảo hình vẽ).

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình trên quanh đường thẳng \(AC\) gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. \(72,9\).

B. \(36,5\).

C. \(73,4\).

D. \(145,9\).

Lời giải:

• Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.

Ta có: \(J\left( {1\,;\,1} \right),\,K\left( {\sqrt 2 + 1\,;\,1} \right),L\left( {\sqrt 2 + 1\,;\,0} \right)\,,C\left( {2\,;\,0} \right)\).

Phương trình đường tròn tâm \(J\left( {1\,;\,1} \right)\) bán kính \(JB = \sqrt 2 \) là

\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt {2 – {{\left( {x – 1} \right)}^2}} + 1 = 1 + \sqrt {1 + 2x – {x^2}} \,,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,y \ge 1\\y = – \sqrt {2 – {{\left( {x – 1} \right)}^2}} + 1 = 1 – \sqrt {1 + 2x – {x^2}} ,\,\,{\rm{khi}}\,y < 1\end{array} \right.\)

• Gọi \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = 1 + \sqrt {1 + 2x – {x^2}} \), trục hoành, hai đường thẳng \(x = 0\,,\,\,x = 1 + \sqrt 2 \).

Gọi \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = 1 – \,\sqrt {1 + 2x – {x^2}} \), trục hoành, hai đường thẳng \(x = 2\,,\,\,x = 1 + \sqrt 2 \).

• Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

\(V = 2\left[ {{V_{\left( {{H_1}} \right)}} – {V_{\left( {{H_2}} \right)}}} \right]\)\( = 2\left[ {{\rm{\pi }}\int\limits_0^{1 + \sqrt 2 } {{{\left( {1 + \sqrt {1 + 2x – {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x – {\rm{\pi }}\int\limits_2^{1 + \sqrt 2 } {{{\left( {1 – \,\sqrt {1 + 2x – {x^2}} } \right)}^2}} {\rm{d}}x} \right] \approx 72,989\) (đvtt).