Trong không gian\(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 12\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0; – 1} \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \(x + ay + bz + c = 0\), tính \(4a + b + c\)
A. \( – 9\).
B. \(10\).
C. \(7\).
D. \(9\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {12} \)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0; – 1} \right)\) nên \(c = – 1,b = – 1\).
Khi đó phương trình \(\left( P \right)\): \(x + ay – z – 1 = 0\)
Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2a – 1 – 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2} + 1} }} = \frac{{\left| {2a – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} = h\) là chiều cao hình nón
Bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = \sqrt {{R^2} – {h^2}} = \sqrt {12 – {h^2}} \)
Khi đó thể tích khối nón là:
\(V = \frac{1}{3}\pi \left( {12 – {h^2}} \right).h\)
Ta có \(V’ = \frac{1}{3}\pi \left( {12 – 3{h^2}} \right)\)
\(V’ = 0 \Leftrightarrow h = 2\)
\({V_{\max }} = \frac{{16\pi }}{3} \Leftrightarrow h = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} = 2 \Leftrightarrow a = – \frac{7}{4}\)
Vậy \(4a + b + c = – 7 – 1 – 1 = – 9\).
================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời