Trong không gian với hệ trục toạ độ ${Oxyz}$ cho các điểm ${A(1; 0; 0)}$, ${B(0; b; 0)}$, ${C(0; 0; c)}$ trong đó ${b,c}$ dương và mặt phẳng ${(P)\colon y-z+1=0}$. Biết rằng ${(ABC)}$ vuông góc với ${(P)}$ và ${\mathrm{d}\left(O,(ABC)\right)=\dfrac{1}{3}}$, mệnh đề nào sau đây \textbf{đúng}?
A. ${b-3c=1}$.
B. ${3b+c=3}$.
C. ${b+c=1}$.
D. ${2b+c=1}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có phương trình ${(ABC)}$ là ${(P)\colon x+\dfrac{y}{a}+\dfrac{z}{b}=1}$.
${(ABC)\perp(P)\Rightarrow\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=0\Rightarrow b=c}$.\hfill${(1)}$\\
Ta có ${\mathrm{d}\left(O,(ABC)\right)=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=8.}$\hfill ${(2)}$\\
Từ (1) và (2) ${\Rightarrow b=c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b+c=1}$.
===========
Đây là các câu VẬN DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ – 2024.
Trả lời