Trong không gian với hệ toạ độ ${Oxyz}$, cho mặt phẳng ${(\alpha)}$ đi qua điểm ${M(1;2;3)}$ và cắt các trục ${Ox}$, ${Oy}$, ${Oz}$ lần lượt tại ${A}$, ${B}$, ${C}$ (khác gốc toạ độ ${O}$) sao cho ${M}$ là trực tâm tam giác ${ABC}$. Mặt phẳng ${(\alpha)}$ có phương trình là
A. ${x+2y+3z+14=0}$.
B. ${x+2y+3z-14=0}$.
C. ${\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}-1=0}$.
D. ${3x+2y+z-10=0}$.
Lời giải
Chọn B
\textbf{Cách 1:} Gọi ${H}$ là hình chiếu vuông góc của ${C}$ trên ${AB}$, ${K}$ là hình chiếu vuông góc ${B}$ trên ${AC}$. ${M}$ là trực tâm của tam giác ${ABC}$ khi và chỉ khi ${S=BK\cap CH}$.
Ta có
\[\left\{\begin{align}&AB\perp CH\\&AB\perp CO\end{align}\right.\Rightarrow AB\perp(COH)\Rightarrow AB\perp OM. \tag{1}\]
Chứng minh tương tự, ta có: ${AC\perp OM}$. \hfill(2)\\
Từ (1) và (2), suy ra ${OS\perp(ABC)}$.
Ta có ${\overrightarrow{OS}=(1;2;3)}$.
Mặt phẳng ${(\alpha)}$ đi qua điểm ${S(1;2;3)}$ và có một VTPT là ${\overrightarrow{OS}=(1;2;3)}$ nên có phương trình là
\[(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0.\]
===========
Đây là các câu VẬN DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ – 2024.
Trả lời