Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\) và một điểm \(M\left( {9;\,4;\,2} \right)\). Từ \(M\) kẻ được vô số các tiếp tuyến tới \(\left( S \right)\), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn \(\left( C \right)\). Tính thể tích khối nón \(\left( N \right)\)có đỉnh là \(M\)và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) gần nhất với đáp án nào sau đây.

A. \(107\).

B. \(39\).

C. \(113\).

D. \(337\)

Lời giải:

Chọn B

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0;3} \right)\) và bán kính \(R = 5\).

Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {8;4; – 1} \right)\) và \(IM = 9\).

Gọi \(H\) là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ \(M\) đến mặt cầu, khi đó \(MH = \sqrt {I{M^2} – {R^2}} = \sqrt {56} \).

Gọi \(O\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) khi đó \(IM \bot HO\) và bán kính của \(\left( C \right)\) là \(HO = r\).

Ta có \(HI.HM = HO.IM\)\( \Rightarrow r = \frac{{HI.HM}}{{IM}} = \frac{{5\sqrt {56} }}{9}\).

\(M{H^2} = MO.MI \Leftrightarrow MO = \frac{{M{H^2}}}{{MI}} = \frac{{56}}{9}\).

\({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}\pi .O{H^2}.OM = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{5\sqrt {56} }}{9}} \right)^2}.\frac{{56}}{9} = 112,6\).