Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x + 2y – z – 4 = 0\). Tam giác \(ABC\)có \(A( – 1;2;1)\) và trọng tâm \(G\) nằm trên đường thẳng \(d\). Khi các đỉnh \(B,C\)di động trên \((\alpha )\) sao cho độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) đạt giá trị lớn nhất, một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) là
A. \(\left( {3; – 2;2} \right)\).
B. \(\left( {3; – 1;4} \right)\).
C. \(\left( {1; – 2; – 2} \right)\).
D. \(\left( {0;1;2} \right)\).
Lời giải
Vì trọng tâm \(G\) nằm trên đường thẳng \(d\) nên \(G\left( {2 + t;2 + 2t; – 2 – t} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Ta có: \(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} – 3{x_G}}}{{1 – 3}}\\{y_M} = \frac{{{y_A} – 3{y_G}}}{{1 – 3}}\\{z_M} = \frac{{{z_A} – 3{z_G}}}{{1 – 3}}\end{array} \right.\) hay\(M\left( {\frac{{7 + 3t}}{2};\frac{{4 + 6t}}{2}; – \frac{{7 + 3t}}{2}} \right)\).
Vì các đỉnh \(B,C\)di động trên \((\alpha )\) nên \(M\) cũng thuộc \((\alpha )\).
Từ đó ta có: \(2.\frac{{7 + 3t}}{2} + 2.\frac{{4 + 6t}}{2} – \left( { – \frac{{7 + 3t}}{2}} \right) – 4 = 0\)\( \Leftrightarrow t = – 1\)
Suy ra: \(M\left( {2; – 1; – 2} \right)\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(BC\).
Ta có: \(d\left( {A,BC} \right) = AH \le AM = 3\sqrt 3 \).
Suy ra độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(3\sqrt 3 \)khi \(BC\) vuông góc với \(AM\)tại \(M\).
Tữ đó \(\vec u = {\vec n_{(\alpha )}} \wedge \overrightarrow {AM} = \left( {9; – 3;12} \right)\) là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\).
Vậy ta chọn đáp án B.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Trả lời