Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho đường thẳng ${\Delta\colon \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}}$ và mặt phẳng ${(P)\colon x+2y+2z-4=0}$. Phương trình đường thẳng ${d}$ nằm trong ${(P)}$ sao cho ${d}$ cắt và vuông góc với đường thẳng ${\Delta}$ là
A. ${d\colon \left\{\begin{align}& x=-3+t&\\
& y=1-2t,& (t \in \mathbb{R})\\
&z=1-t&
\end{align}\right.}$.
B. ${d\colon\left\{\begin{align}&x=3t&\\&y=2+t,&(t \in \mathbb{R})\\&z=2+2t&\end{align}\right.}$.
C. ${d\colon\left\{\begin{align} &x=-2-4t&\\&y=-1+3t,&(t \in \mathbb{R})\\&z=4-t&\end{align}\right.}$.
D. ${d\colon\left\{\begin{align} &x=-1-t&\\&y=3-3t,&(t \in \mathbb{R})\\&z=3-2t&\end{align}\right.}$.
Lời giải
Chọn C
Véc-tơ chỉ phương của ${\Delta}$ là ${\overrightarrow{u}_{\Delta}=(1;1;-1)}$, véc-tơ pháp tuyến của ${(P)}$ là ${\overrightarrow{n}_{(P)}=(1;2;2)}$.
Vì ${\left\{\begin{align}&d \perp \Delta \\&d \subset(P)\end{align}\right. \Rightarrow\left\{\begin{align}&\vec{u}_{d} \perp \vec{u}_{\Delta} \\& \vec{u}_{d} \perp \vec{n}_{(P)}\end{align}\right. \Rightarrow \vec{u}_{d}=\left[\vec{u}_{\Delta} , \vec{n}_{(P)}\right]=(4 ;-3 ; 1)}$.
Tọa độ giao điểm ${H=\Delta\cap (P)}$ là nghiệm của hệ \[\left\{\begin{align}& x=t\\& y=1+t\\& z=2-t\\& x+2y+2z-4=0\end{align}\right. \Rightarrow t=-2 \Rightarrow H(-2;-1;4).\]
Lại có ${(d,\Delta)\cap (P)=d}$, mà ${H=\Delta\cap (P)}$. Suy ra ${H \in d}$.
Vậy đường thẳng ${d}$ đi qua ${H(-2;-1;4)}$ và có véc-tơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}_{d}=(4;-3;1)}$ nên có phương trình ${d\colon \left\{\begin{align}& x=-2-4t&\\& y=-1+3t, &(t \in \mathbb{R})\\&z=4-t. &\end{align}\right.}$
===========
Đây là các câu VẬN DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ – 2024.
Trả lời