Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị đo là km), bốn chiếc máy bay ở bốn hướng khác nhau khi vừa bay vào vùng phủ sóng của một chiếc radar thì trên radar cùng một lúc báo tín hiệu phát hiện ra mục tiêu

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị đo là km), bốn chiếc máy bay ở bốn hướng khác nhau khi vừa bay vào vùng phủ sóng của một chiếc radar thì trên radar cùng một lúc báo tín hiệu phát hiện ra mục tiêu. Tại thời điểm radar phát hiện mục tiêu thì $4$ chiếc máy bay ở vị trí có toạ độ lần lượt là $A \left(30; 25; 33 \right)$, $B \left(14; 1; 49 \right)$, $C \left(40; -29; 1\right)$, $D \left(0; 31; 41 \right)$. Hỏi bán kính vùng phủ sóng của radar là bao nhiêu km?
Đáp án: 50
Lời giải: Gọi $M \left(x; y; z \right)$ là địa điểm đặt rađa.
Theo đề bài ra ta có
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{l} MA =MB\\ MA = MC\\ MA = MD\end{array}\right. & \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} MA^2 = MB^2\\ MA^2 = MC^2\\ MA^2 = MD^2\end{array}\right.
& \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \left(x-30 \right)^2 + \left(y -25 \right)^2 + \left(z – 33 \right)^2 = \left(x- 14 \right)^2 + \left(y-1 \right)^2 + \left(z-49 \right)^2\\ \left(x-30 \right)^2 + \left(y -25 \right)^2 + \left(z – 33 \right)^2 = \left(x-40 \right)^2 + \left(y + 29 \right)^2 + \left(z-1 \right)^2 \\ \left(x-30 \right)^2 + \left(y -25 \right)^2 + \left(z – 33 \right)^2 = x^2 + \left(y – 31 \right)^2 + \left(z – 41 \right)^2 \end{array}\right.
&\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} -32x – 48y + 32z = -16\\ -20x -108y -64z = -172\\ -60x + 12y + 16z = 28\end{array}\right.
&\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x=0\\ y=1\\ z=1.\end{array}\right.
\end{align*}
Suy ra, bán kính vùng phủ sóng $R = OA = \sqrt{\left(-30 \right)^2 + \left(-24 \right)^2 + \left(-32 \right)^2} = 50$ km.