Trong không gian ${Oxyz}$, cho ${(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-11=0}$. Viết phương trình mặt phẳng ${(\alpha)}$, biết ${(\alpha)}$ song song với ${(P)\colon 2x+y-2z+11=0}$ và cắt mặt cầu ${(S)}$ theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng ${8\pi}$.
A. ${2x-y-2z-7=0}$.
B. ${2x+y-2z-5=0}$.
C. ${2x+y-2z-7=0}$.
D. ${2x+y-2z+11=0}$.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu ${(S)}$ có tâm ${I(1;2;3)}$ và bán kính ${R=\sqrt{1^2+2^2+3^2+11}=5}$.
Chu vi thiết diện bằng ${8\pi}$ nên bán kính ${r}$ của đường tròn thỏa mãn ${8\pi=2\pi r\Leftrightarrow r=4}$.
Ta có ${\mathrm{d}\left(I,(\alpha)\right)=\sqrt{R^2-r^2}=3}$.
Mặt phẳng ${(\alpha)}$ song song với ${(P)\colon 2x+y-2z+11=0}$ có dạng ${(\alpha)\colon 2x+y-2z+m=0\ (m\neq 11)}$.
${\mathrm{d}\left(I,(\alpha)\right)=3\Leftrightarrow\dfrac{\left|2\cdot 1+2-2\cdot 3+m\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=3\Leftrightarrow|m-2|=9\Leftrightarrow \left[\begin{align}&m=11\\& m=-7.\end{align}\right.}$\\
Đối chiếu điều kiện suy ra ${(\alpha)\colon 2x+y-2z-7=0}$.
===========
Đây là các câu VẬN DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ – 2024.
Trả lời