Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 6z – 13 = 0\). Lấy điểm \(M\) trong không gian sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến \(MA\), \(MB\), \(MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = 60^\circ \), \(\widehat {BMC} = 90^\circ \), \(\widehat {CMA} = 120^\circ \) (\(A\), \(B\), \(C\) là các tiếp điểm). Khi đó đoạn thẳng \(OM\)có độ nhỏ nhất bằng

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 6z – 13 = 0\). Lấy điểm \(M\) trong không gian sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến \(MA\), \(MB\), \(MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = 60^\circ \), \(\widehat {BMC} = 90^\circ \), \(\widehat {CMA} = 120^\circ \) (\(A\), \(B\), \(C\) là các tiếp điểm). Khi đó đoạn thẳng \(OM\)có độ nhỏ nhất bằng

A. \(\sqrt {14} – 3\sqrt 3 \).

B. \( – \sqrt {14} + 6\sqrt 3 \).

C. \(\sqrt {14} – 6\).

D. \(6 – \sqrt {14} \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Vì \(MA\), \(MB\), \(MC\) là \(3\) tiếp tuyến nên ta đặt \(MA = MB = MC = x\).

có \(MA = MB\), \(\widehat {AMB} = 60^\circ \) nên \(\Delta MAB\) là tam giác đều, suy ra \(AB = MA = MB = x\).

Áp dụng định lí Py-ta-go cho ta có \(BC = \sqrt {M{B^2} + M{C^2}} = \sqrt {2{x^2}} = x\sqrt 2 .\)

Áp dụng định lí hàm số cos cho : \(CA = \sqrt {M{A^2} + M{C^2} – 2MA.MC.\cos 120^\circ } = x\sqrt 3 \).

Nhận thấy \(A{B^2} + B{C^2} = {x^2} + 2{x^2} = 3{x^2} = A{C^2}\), suy ra vuông tại \(B\).

Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của \(AC\).

Vì \(MA = MB = MC\) nên \(MI\) là trục đường tròn ngoại tiếp của .

Do đó M; I; E thẳng hàng.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(E\left( {1;2; – 3} \right)\) bán kính\(R = 3\sqrt 3 = EC\)

Suy ra \(ME = \frac{{EC}}{{\sin {{60}^0}}} = 6\). Vậy M thuộc mặt cầu \(\left( {S’} \right)\) có tâm \(E\left( {1;2; – 3} \right)\) bán kính\(R’ = 6\).

Ta có \(OE = \sqrt {14} \)

Vậy \(Min\,OM = \left| {OE – R’} \right| = 6 – \sqrt {14} \).

=======