Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 6\) tâm \(I\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 3}}{{ – 4}} = \frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh \(I\), đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết \(\left( \alpha  \right)\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H\left( {{x_H},{y_H},{z_H}} \right)\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\). Giá trị của biểu thức \(T = {x_H} + {y_H} + {z_H}\) bằng:

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 6\) tâm \(I\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 3}}{{ – 4}} = \frac{z}{1}\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh \(I\), đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất. Biết \(\left( \alpha  \right)\) không đi qua gốc tọa độ, gọi \(H\left( {{x_H},{y_H},{z_H}} \right)\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\). Giá trị của biểu thức \(T = {x_H} + {y_H} + {z_H}\) bằng:

A. \(\frac{1}{3}.\) 

B. \(\frac{4}{3}.\) 

C. \(\frac{2}{3}.\) 

D. \(\frac{1}{2}.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(\left( \alpha  \right) \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {1; – 4;1} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right):x – 4y + z + m = 0\)

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 6\) tâm \(I\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1; – 1;1} \right)\\R = \sqrt 6 \end{array} \right.\)

\({d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| {1 – 4.\left( { – 1} \right) + 1 + m} \right|}}{{\sqrt {1 + 16 + 1} }} = \frac{{\left| {m + 6} \right|}}{{3\sqrt 2 }} \Rightarrow {V_{no’n}} = \frac{1}{3}{d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}}.\pi R_{\left( C \right)}^2 = \frac{1}{3}{d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}}.\pi .\left( {R_{\left( S \right)}^2 – d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}^2} \right)\)

Xem \({V_{no’n}}\) là hàm với ẩn là \({d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}}\) với \(0 < {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} < \sqrt 6 \). Khảo sát hàm số ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất khi \(R_{\left( S \right)}^2 = 3d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}^2 \Rightarrow d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}^2 = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = \sqrt 2  \Rightarrow m = 0 \vee m =  – 12\). Loại \(m = 0\) vì \(\left( \alpha  \right)\) không đi qua gốc tọa độ \( \Rightarrow \left( \alpha  \right):x – 4y + z – 12 = 0\)

Gọi \(\left( {d’} \right)\) đi qua tâm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right) \Rightarrow \left( {d’} \right)\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  – 1 – 4t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

\(H = \left( {d’} \right) \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3};\frac{{ – 7}}{3};\frac{4}{3}} \right) \Rightarrow T = \frac{1}{3}\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)