Trong không gian \(Oxyz \), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}} \), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{1} = \frac{{z – 4}}{1} \) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + z – 2021 = 0 \). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right) \) và cắt \({d_1},\,{d_2} \) lần lượt tại \(A,\,B \) sao cho \(AB = 3\sqrt 2 \). Biết \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b;\,1} \right) \) một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) khi đó \(T = {a^{2021}} + {b^{2021}}\) bằng

Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz \), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}} \), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{1} = \frac{{z – 4}}{1} \) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + z – 2021 = 0 \). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right) \) và cắt \({d_1},\,{d_2} \) lần lượt tại \(A,\,B \) sao cho \(AB = 3\sqrt 2 \). Biết \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b;\,1} \right) \) một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) khi đó \(T = {a^{2021}} + {b^{2021}}\) bằng

A. \({2^{2021}}\).

B. \({3^{2021}}\).

C. \({2^{2021}} + {3^{2021}}\).

D. \(1 \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(A\left( {1 + 2a;\, – 2 + a;\,2 – 2a} \right) \); \(B\left( {2 – b;\,3 + b;\,4 + b} \right) \)

Suy ra \(\overrightarrow {BA} = \left( {2a + b – 1;\,a – b – 5;\, – 2a – b – 2} \right) \).

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right) \): \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;\, – 1;\,1} \right) \).

Do \(AB//\left( P \right) \) nên \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0 \) \( \Rightarrow 2a + b – 1 – a + b + 5 – 2a – b – 2 = 0 \)

\( \Rightarrow – a + b + 2 = 0 \Rightarrow b = a – 2 \).

Ta có: \(AB = 3\sqrt 2 \Rightarrow {\left( {2a + b – 1} \right)^2} + {\left( {a – b – 5} \right)^2} + {\left( { – 2a – b – 2} \right)^2} = 18 \)

\( \Rightarrow {\left( {3a – 3} \right)^2} + 9 + {\left( { – 3a} \right)^2} = 18 \) \( \Rightarrow 18{a^2} – 18a = 0 \Rightarrow {a^2} – a = 0 \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 0\end{array} \right. \)

TH1: Nếu \(a = 0 \) thì \(A\left( {1;\, – 2;\,2} \right) \), \(B\left( {4;\,1;\,2} \right) \) suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,3;\,0} \right) \) do cao độ của VTCP bằng 1.

TH2: Nếu \(a = 1 \) thì \(A\left( {3; – 1;0} \right) \), \(B\left( {3;2;3} \right) \) suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;3;3} \right) \).

Chọn véctơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {0;1;1} \right) \) suy ra \(a = 0;b = 1\).

Vậy đáp án là

D.

=======