A. \(6\sqrt 5 \).
B. \(\sqrt {34} \).
C. \(\sqrt {63} \).
D. \(\sqrt {58} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dựng \(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {NM} \). Khi đó \(BN = MB’\) và \(B’\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(B\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là: \(z = 2\).
Hơn nữa, \(BB’ = 2\). Suy ra, \(B’\) thuộc đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = 2\) trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Gọi \(A’\) đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Khi đó, \(A’\left( { – 1\,;\,2\,;\, – 5} \right)\) và 2 điểm \(A’\),\(B’\) khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Ta có \(AM + BN = A’M + MB’ \ge A’B’\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A’\) trên \(\left( Q \right)\). Suy ra \(H\left( { – 1\,;\,2\,;\,2} \right)\), \(A’H = 7\); \(HB = 5\).
Mặt khác, \(HB’ \ge \left| {HB – BB’} \right| = 5 – 2 = 3\). Suy ra, \(AM + BN = A’M + MB’ \ge A’B’ = \sqrt {A'{H^2} + HB{‘^2}} \ge \sqrt {{7^2} + {3^2}} = \sqrt {58} \).
Dấu bằng xảy ra khi \(B’\) nằm giữa \(B\) và \(H\), \(BB’ = 2\), \(M = A’B’ \cap \left( {Oxy} \right)\) và \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {BB’} \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng \(\sqrt {58} \).
=======
Trả lời