Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; – 2;1} \right),\,B\left( {3; – 4;5} \right)\). Một hình trụ \(\left( T \right)\) nội tiếp trong mặt cầu đường kính \(AB\) đồng thời nhận \(AB\) làm trục của hình trụ. Gọi \(M\) và \(N\)lần lượt là tâm các đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) \(\left( M \right.\) nằm giữa\(\left. {A,N} \right)\). Khi thiết diện qua trục của \(\left( T \right)\) có diện tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm \(M\) của \(\left( T \right)\) có dạng \(x + by + 2z + d = 0\). Giá trị của \(b – d\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay) ===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; – 2;1} \right),\,B\left( {3; – 4;5} \right)\). Một hình trụ \(\left( T \right)\) nội tiếp trong mặt cầu đường kính \(AB\) đồng thời nhận \(AB\) làm trục của hình trụ. Gọi \(M\) và \(N\)lần lượt là tâm các đường tròn đáy của \(\left( T \right)\) \(\left( M \right.\) nằm giữa\(\left. {A,N} \right)\). Khi thiết diện qua trục của \(\left( T \right)\) có diện tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm \(M\) của \(\left( T \right)\) có dạng \(x + by + 2z + d = 0\). Giá trị của \(b – d\) bằng

A. \(8 + 2\sqrt 2 \). 

B. \(5 – 4\sqrt 2 \). 

C. \(10 – 3\sqrt 2 \). 

D. \(4 + \sqrt 2 \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {2; – 2;4} \right)\).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {2; – 3;3} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 6 \).

Gọi \(x\) là bán kính của hình trụ \(\left( {0 < x < \sqrt 6 } \right)\). Diện tích thiết diện là

\({S_{TD}} = 2x.2\sqrt {6 – {x^2}}  \le 2.\left( {{x^2} + 6 – {x^2}} \right)\).

Do đó \({S_{TD}} \le 12\). Vậy \({S_{TD\max }} = 12\) khi \({x^2} = 6 – {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .\)

Khi đó \(IM = \sqrt 3 ,\,IA = \sqrt 6 \) nên \(\overrightarrow {IA}  = \sqrt 2 \overrightarrow {IM}  \Rightarrow M\left( {\frac{{4 – \sqrt 2 }}{2};\frac{{ – 6 + \sqrt 2 }}{2};3 – \sqrt 2 } \right)\).

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm \(M\) của \(\left( T \right)\) và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; – 1;2} \right)\)là:

\(\left( {x – \frac{{4 – \sqrt 2 }}{2}} \right) – \left( {y + \frac{{6 – \sqrt 2 }}{2}} \right) + 2\left( {z – 3 + \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow x – y + 2z – 11 + 3\sqrt 2  = 0.\)

Ta có \(b =  – 1;d =  – 11 + 3\sqrt 2 \). Do đó \(b – d =  – 1 + 11 – 3\sqrt 2  = 10 – 3\sqrt 2 .\).

================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)