. Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0\,;\,3} \right)\) và \(B\left( {2; – 3\,;\, – 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) với \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 14 = 0\). \(M\), \(N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho\(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\)là

Câu hỏi: . Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0\,;\,3} \right)\) và \(B\left( {2; – 3\,;\, – 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) với \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 14 = 0\). \(M\), \(N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho\(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\)là

A. \(8\sqrt 2 \).

B. \(\sqrt {78 – 2\sqrt {13} } \).

C. \(34\).

D. \(\sqrt {78 – \sqrt {13} } \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Các điểm trên đường tròn giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 14 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\,\)

Lấy \(\left( 1 \right)\) trừ \(\left( 2 \right)\), ta được \(6z = 0\) hay đường tròn giao tuyến nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):z = 0\) tức là \(\left( P \right) \equiv \left( {Oxy} \right).\)

Dễ thấy \(A\), \(B\) nằm khác phía đối với \(\left( P \right)\), hình chiếu của \(A\) trên \(\left( P \right)\) là \(O\), hình chiếu của \(B\) trên \(\left( P \right)\) là \(H\left( {2;\, – 3\,;\,0} \right).\)

Lấy \(A’\) sao cho \(\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {MN} .\)Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A{A^/} = MN = 1\\AM = {A^/}N\\A{A^/}\parallel (Oxy)\end{array} \right.\).

Gọi \(\left( \alpha \right):z – 3 = 0\) là mp qua \(A\)song song với mp \(\left( {Oxy} \right)\).Suy ra \({A^/}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) nằm trong mp \(\left( \alpha \right)\) có tâm \(A\left( {0;0\,;\,3} \right)\) bán kính \(R = 1\).

Khi đó \(AM + BN = A’N + BN \ge A’B\).

Cách 1

Gọi \({H^/}\)là hình chiếu vuông góc của điểm \(B\)trên mp \(\left( \alpha \right)\). Ta có \(B{H^/} = BH + d\left( {\left( {{\rm{ox}}y} \right),\left( \alpha \right)} \right) = 5 + 3 = 8\).

Có \({A^/}B = \sqrt {B{H^{/2}} + {A^/}{H^{/2}}} \ge \sqrt {{8^2} + {{\left( {A{H^/} – R} \right)}^2}} \)

\(A{H^/} = \sqrt {A{B^2} – B{H^{/2}}} = \sqrt {77 – 64} = \sqrt {13} \). Vậy \({A^/}B \ge \sqrt {78 – 2\sqrt {13} } \).

Hay \(AM + BN \ge \sqrt {78 – 2\sqrt {13} } \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\)là \(\sqrt {78 – 2\sqrt {13} } \).

Cách 2:

Dấubằng xảy ra khi \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương \(\overrightarrow {OH} .\)

Do \(MN = 1\) nên chọn\(\overrightarrow {MN} = \frac{{\overrightarrow {OH} }}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|}} = \left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}\,;\, – \frac{3}{{\sqrt {13} }}\,;\,0} \right).\)

Khi đó vì \(\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {MN} \) nên \(A’\left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}\,;\, – \frac{3}{{\sqrt {13} }}\,;\,3} \right).\)

Suy ra\(AM + BN = A’N + BN \ge A’B = \sqrt {78 – 2\sqrt {13} } \).

=======