Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2\,;\,3\,;\,9} \right),{\rm{ }}B\left( {2\,;\,3\,;\,4} \right)\) và \(C\left( {2;15;9} \right).\) Một mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn đi qua \(A,{\rm{ }}B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) tại \(D.\) Biết rằng khi \(CD\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tọa độ tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Khi đó \(a – b + 2c\) bằng

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2\,;\,3\,;\,9} \right),{\rm{ }}B\left( {2\,;\,3\,;\,4} \right)\) và \(C\left( {2;15;9} \right).\) Một mặt cầu \(\left( S \right)\) luôn đi qua \(A,{\rm{ }}B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) tại \(D.\) Biết rằng khi \(CD\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tọa độ tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Khi đó \(a – b + 2c\) bằng

A. \( – 13\).

B. 9.

C. 2

D. 6.

GY:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0\,;\,0\,;\, – 5} \right) \Rightarrow AB \bot \left( {Oxy} \right)\).

Và \(H\left( {2\,;\,3\,;\,0} \right),{\rm{ }}D\) là hình chiếu của \(A,{\rm{ }}I\) lên mặt \(\left( {Oxy} \right)\).

\( \Rightarrow HA = 9,{\rm{ }}HB = 4\).

Ta có \(H{D^2} = HA.HB \Rightarrow KD = \sqrt {HA.HB} = 6\).

\( \Rightarrow D\) thuộc đường tròn \((C)\) tâm \(H\), \(r = 6\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(C\) lên \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow K\left( {2\,;15\,;0} \right)\).

\( \Rightarrow HK = 12 > r \Rightarrow \)\(K\) nằm ngoài \(\left( C \right)\).

Ta có \(CD = \sqrt {C{K^2} + D{K^2}} = \sqrt {{9^2} + D{K^2}} \ge \sqrt {81 + {{\left( {HK – r} \right)}^2}} = \sqrt {81 + {{\left( {12 – 6} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow C{D_{\min }} = 3\sqrt 3 \). Dấu xảy ra khi \(H,{\rm{ }}K,{\rm{ }}D\) và \(D\) nằm giữa \(HK\).

Ta có: \(r = HD = 6,\) \(HK = 12 \Rightarrow \)\(\overrightarrow {HK} = 2\overrightarrow {HD} \Rightarrow \)\(D\) là trung điểm \(HK \Rightarrow \)\(D\left( {2\,;\,9\,;\,0} \right)\).

Gọi \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là tâm của \(\left( S \right)\), vì \(D\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {2\,;\,9\,;\,c} \right)\).

\( \Rightarrow I\) nằm trên \(\left( P \right):z = \frac{{13}}{2}\) là mặt phẳng trung trực của \(AB,\) \(\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( {Oxy} \right) \Rightarrow c = \frac{{13}}{2}\).

\( \Rightarrow a = 2,{\rm{ }}b = 9,{\rm{ }}c = \frac{{13}}{2}\)\( \Rightarrow a – b + 2c = 6\).

=======