Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;\, – 3;\, – 2} \right),\,B\left( {5;\,1;\,0} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(AB\). Trong các hình chóp đều có đỉnh \(A\) nội tiếp trong mặt cầu \(\left( S \right)\), gọi \(A.MNPQ\) là hình chóp có thể tích lớn nhất. Phương trình mặt cầu tâm \(B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) là

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;\, – 3;\, – 2} \right),\,B\left( {5;\,1;\,0} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(AB\). Trong các hình chóp đều có đỉnh \(A\) nội tiếp trong mặt cầu \(\left( S \right)\), gọi \(A.MNPQ\) là hình chóp có thể tích lớn nhất. Phương trình mặt cầu tâm \(B\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) là

A. \({\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 4\). 

B. \({\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 16\).

C. \({\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 2\). 

D. \({\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 8\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(J\left( {3;\, – 1;\, – 1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Gọi hình chóp đều nội tiếp trong mặt cầu \(\left( S \right)\) có cạnh đáy là \(x\) và đường cao là \(h\).

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là \(R = \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} + {h^2}}}{{2h}}\)

\(R = 3 \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} + {h^2}}}{{2h}} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2{h^2} = 12h \Leftrightarrow {x^2} = 12h – 2{h^2}\)

Thể tích khối chóp đều nội tiếp trong mặt cầu là

\(V = \frac{1}{3}{x^2}h = \frac{1}{3}\left( {12h – 2{h^2}} \right)h = \frac{1}{3}h.h.\left( {12 – 2h} \right) \le \frac{1}{3}{\left( {\frac{{h + h + 12 – 2h}}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{3}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(12 – 2h = h \Leftrightarrow h = 4\)\( \Rightarrow x = 4\).

Vậy thể tích khối chóp đều nội tiếp trong khối cầu có thể tích lớn nhất khi đường cao bằng cạnh đáy và bằng \(4\). Khi đó gọi \(I\) là tâm hình vuông \(MNPQ\), ta có

\(\overrightarrow {AI}  = \frac{{AI}}{{AB}}.\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{2}{3}.\overrightarrow {AB} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = \frac{8}{3}\\y + 3 = \frac{8}{3}\\z + 2 = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{3}\\y =  – \frac{1}{3}\\z =  – \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{{11}}{3}; – \frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\)qua \(I\)và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \)

Phương trình mp \(\left( {MNPQ} \right)\) là: \(2x + 2y + z – 6 = 0\)

Mặt cầu tâm \(B\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) nên có bán kính \(R = d\left( {B,\left( {MNPQ} \right)} \right) = 2\)

Khi đó, phương trình mặt cầu tâm \(B\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) là: \({\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 4\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)