Bài toán gốc
Trên khoảng $(0;+\infty)$, họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ là
A. $\int f(x)\text{d}x=\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+C$
B. $\int f(x)\text{d}x=\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C$
C. $\int f(x)\text{d}x=\dfrac{5}{2}x^{\frac{5}{2}}+C$
D. $\int f(x)\text{d}x=\dfrac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm (antiderivative) cơ bản của hàm số lũy thừa $f(x)=x^\alpha$. Phương pháp giải là áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản cho hàm lũy thừa: $\int x^\alpha dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$, với $\alpha \neq -1$. Ta chỉ cần xác định $\alpha$, tính $\alpha+1$, và chia cho giá trị đó.
Bài toán tương tự
1. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:
A. $\dfrac{5}{4}x^{\frac{5}{4}} + C$
B. $4x^{\frac{5}{4}} + C$
C. $\dfrac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$
D. $\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} + C$
Đáp án đúng: C. Lời giải: Áp dụng công thức $\int x^\alpha dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ với $\alpha = \dfrac{1}{4}$. Ta có $\alpha+1 = \dfrac{5}{4}$. Vậy $\int x^{\frac{1}{4}} dx = \dfrac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \dfrac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$.
2. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:
A. $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
B. $2\sqrt{x} + C$
C. $\dfrac{3}{2}x\sqrt{x} + C$
D. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}} + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải: Ta viết lại $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$. Áp dụng công thức với $\alpha = \dfrac{1}{2}$. Ta có $\alpha+1 = \dfrac{3}{2}$. Vậy $\int x^{\frac{1}{2}} dx = \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.
3. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6x^{\frac{2}{3}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:
A. $\dfrac{5}{18}x^{\frac{5}{3}} + C$
B. $\dfrac{18}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$
C. $10x^{\frac{5}{3}} + C$
D. $\dfrac{1}{10}x^{\frac{5}{3}} + C$
Đáp án đúng: B. Lời giải: Áp dụng công thức với $\alpha = \dfrac{2}{3}$. Ta có $\alpha+1 = \dfrac{5}{3}$.
$$\int 6x^{\frac{2}{3}} dx = 6 \cdot \dfrac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = 6 \cdot \dfrac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C = \dfrac{18}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$$
4. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x^4}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:
A. $\dfrac{-1}{3x^3} + C$
B. $\dfrac{1}{3x^3} + C$
C. $\dfrac{1}{5x^5} + C$
D. $4x^{-5} + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải: Ta viết lại $f(x) = x^{-4}$. Áp dụng công thức với $\alpha = -4$. Ta có $\alpha+1 = -3$. Vậy $\int x^{-4} dx = \dfrac{x^{-3}}{-3} + C = -\dfrac{1}{3x^3} + C$.
5. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:
A. $\dfrac{7}{2}x^{\frac{7}{2}} + C$
B. $\dfrac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + C$
C. $\dfrac{5}{7}x^{\frac{7}{2}} + C$
D. $\dfrac{2}{5}x^{\frac{3}{2}} + C$
Đáp án đúng: B. Lời giải: Áp dụng công thức với $\alpha = \dfrac{5}{2}$. Ta có $\alpha+1 = \dfrac{7}{2}$. Vậy $\int x^{\frac{5}{2}} dx = \dfrac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + C = \dfrac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + C$.