[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 44:Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mản \(f\left( 1 \right) = 4\) và \(f\left( x \right) = x.f’\left( x \right) – 2{x^3} – 3{x^2}.\) Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng
A. \(5\).
B. \(10\).
C. \(15\).
D. \(20\)
Lời giải
Từ đẳng thức \[f\left( x \right) = x.f’\left( x \right) – 2{x^3} – 3{x^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) – x.f’\left( x \right) = – 2{x^3} – 3{x^2}\]
Với \(x \in \left[ {1;2} \right]\) ta có \(\frac{{f\left( x \right) – x.f’\left( x \right)}}{{{x^2}}} = – 2x – 3 \Leftrightarrow \frac{{x.f’\left( x \right) – f\left( x \right)}}{{{x^2}}} = 2x + 3\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)’} = 2x + 3\).
Lấy nguyên hàm hai vế
\[\int {(\frac{f(x)}{x})’}dx = \int {\left( {2x + 3} \right)} dx = {x^2} + 3x + C\]
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = x\left( {{x^2} + 3x + C} \right)\). Vì \(f\left( 1 \right) = 4\) nên \(1\left( {1 + 3 + C} \right) = 4 \Rightarrow C = 0\)
Vậy \(f\left( 2 \right) = 2\left( {4 + 6} \right) = 20\).