Câu hỏi:
(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \((0;\pi )\) thỏa mãn \(f\prime (x) = f(x)\). \(\cot x + 2x\). \(\sin x\). Biết \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}\). Tính \(f\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).
A. \(\frac{{{\pi ^2}}}{{36}}\).
B. \(\frac{{{\pi ^2}}}{{72}}\).
C. \(\frac{{{\pi … [Đọc thêm...] về (Chuyên Lam Sơn 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \((0;\pi )\) thỏa mãn \(f\prime (x) = f(x)\). \(\cot x + 2x\). \(\sin x\). Biết \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}\). Tính \(f\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).
Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C),f(x)\) có đạo hàm xác định và liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn điều kiện \(f\prime (x) = \ln x \cdot {f^2}(x),\forall x \in (0; + \infty )\). Biết \(f(x) \ne 0,\forall x \in (0; + \infty )\) và \(f(e) = 2\). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
Câu hỏi:
(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C),f(x)\) có đạo hàm xác định và liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn điều kiện \(f\prime (x) = \ln x \cdot {f^2}(x),\forall x \in (0; + \infty )\). Biết \(f(x) \ne 0,\forall x \in (0; + \infty )\) và \(f(e) = 2\). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại điểm có … [Đọc thêm...] về (Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C),f(x)\) có đạo hàm xác định và liên tục trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn điều kiện \(f\prime (x) = \ln x \cdot {f^2}(x),\forall x \in (0; + \infty )\). Biết \(f(x) \ne 0,\forall x \in (0; + \infty )\) và \(f(e) = 2\). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},\,\,a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục hoành khi quay xung quanh trục \(Ox\).
Câu hỏi: (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},\,\,a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính … [Đọc thêm...] về(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R},\,\,a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục hoành khi quay xung quanh trục \(Ox\).
(Sở Bắc Giang 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm xác định trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(x\left( {f\prime (x) + x} \right) = (x + 1)f(x);f(1) = e + 1\). Biết rằng \(\int_0^1 f (x)dx = \frac{a}{b};\) trong đó \(a,b\) là những số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khi đó giá trị của \((2a + b)\) tương ứng bằng:
Câu hỏi:
(Sở Bắc Giang 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm xác định trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(x\left( {f\prime (x) + x} \right) = (x + 1)f(x);f(1) = e + 1\). Biết rằng \(\int_0^1 f (x)dx = \frac{a}{b};\) trong đó \(a,b\) là những số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khi đó giá trị của \((2a + b)\) tương ứng bằng:
A. 4.
B. 5.
C. … [Đọc thêm...] về (Sở Bắc Giang 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm xác định trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(x\left( {f\prime (x) + x} \right) = (x + 1)f(x);f(1) = e + 1\). Biết rằng \(\int_0^1 f (x)dx = \frac{a}{b};\) trong đó \(a,b\) là những số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Khi đó giá trị của \((2a + b)\) tương ứng bằng:
(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), thoả mãn \(f\left( x \right) > – 1\) và\(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} ,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 0\), khi đó \(f\left( 2 \right)\)có giá trị bằng
Câu hỏi:
(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), thoả mãn \(f\left( x \right) > - 1\) và\(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} ,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 0\), khi đó \(f\left( 2 \right)\)có giá trị bằng
A. 0.
B. 4.
C. 8.
D. 6.
Lời … [Đọc thêm...] về (Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), thoả mãn \(f\left( x \right) > – 1\) và\(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} ,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 0\), khi đó \(f\left( 2 \right)\)có giá trị bằng
(Sở Lạng Sơn 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\) và \(f’\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\,\,x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng
Câu hỏi:
(Sở Lạng Sơn 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\) và \(f'\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\,\,x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng
A. \(\frac{2}{e}\).
B. \(1 - \frac{1}{e}\).
C. \(1 + \frac{1}{e}\).
D. \(2\).
Lời giải:
Chọn D
Ta … [Đọc thêm...] về (Sở Lạng Sơn 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\) và \(f’\left( x \right) + f\left( x \right) = x,\,\,x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng
(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f’\left( x \right) – 2f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} + 4x – 1}}{2}}},\,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = {e^2}\). Biết \(f\left( 3 \right) = a.{e^b} + c\) với \(a\,,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} b\,,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} c{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in \mathbb{N}\). Tính \(2a{\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3b{\kern 1pt} {\kern 1pt} + 4
C.\)
Câu hỏi:
(Cụm Trường Nghệ An - 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f'\left( x \right) - 2f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} + 4x - 1}}{2}}},\,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = {e^2}\). Biết \(f\left( 3 \right) = a.{e^b} + c\) với … [Đọc thêm...] về (Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f’\left( x \right) – 2f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^2} + 4x – 1}}{2}}},\,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = {e^2}\). Biết \(f\left( 3 \right) = a.{e^b} + c\) với \(a\,,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} b\,,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} c{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in \mathbb{N}\). Tính \(2a{\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3b{\kern 1pt} {\kern 1pt} + 4 C.\)
(Sở Lạng Sơn 2022) Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\), \(f\left( x \right) = f’\left( x \right).\sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu hỏi:
(Sở Lạng Sơn 2022) Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\), \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(3 < f\left( 5 \right) < 4\).
B. \(11 < f\left( 5 \right) < … [Đọc thêm...] về (Sở Lạng Sơn 2022) Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e\), \(f\left( x \right) = f’\left( x \right).\sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x\) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} – x\), với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f(x) – g(x)\) có ba điểm cực trị là \( – 3,1\) và 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\prime (x)\) và \(y = g\prime (x)\) bằng
Câu hỏi:
(THPT Bùi Thị Xuân – Huế - 2022) Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x\) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} - x\), với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f(x) - g(x)\) có ba điểm cực trị là \( - 3,1\) và 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\prime (x)\) và \(y = g\prime (x)\) bằng
A. \(\frac{{935}}{{36}}\).
B. … [Đọc thêm...] về (THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x\) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} – x\), với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f(x) – g(x)\) có ba điểm cực trị là \( – 3,1\) và 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = f\prime (x)\) và \(y = g\prime (x)\) bằng
(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f’\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), \(g’\left( x \right) = q{x^2} + nx + p\) với \(a,q \ne 0\) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) bằng \(10\) và \(f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)\). Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng \(\frac{a}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(a,b\) nguyên tố cùng nhau). Tính \(a – b\).
Câu hỏi:
(Cụm Trường Nghệ An - 2022) Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), \(g'\left( x \right) = q{x^2} + nx + p\) với \(a,q \ne 0\) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x … [Đọc thêm...] về (Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f’\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), \(g’\left( x \right) = q{x^2} + nx + p\) với \(a,q \ne 0\) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) bằng \(10\) và \(f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)\). Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng \(\frac{a}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(a,b\) nguyên tố cùng nhau). Tính \(a – b\).