Câu hỏi: (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) Một téc nước hình trụ, đang chứa nước được đạat nằm ngang, có chiều dài \(3m\) và đường kính đáy \(1m\). Hiện tại mặt nước trong téc cách phía trển đỉnh của téc \(0,25\;m\) (xem hình vẽ). Tính thể tích của nước trong téc (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)? A. \(1,768\;{m^3}\). B. \(1,167{m^3}\) C. … [Đọc thêm...] về(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) Một téc nước hình trụ, đang chứa nước được đạat nằm ngang, có chiều dài \(3m\) và đường kính đáy \(1m\). Hiện tại mặt nước trong téc cách phía trển đỉnh của téc \(0,25\;m\) (xem hình vẽ). Tính thể tích của nước trong téc (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)?
Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân
(Sở Ninh Bình 2022) Gọi \(X\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d\): \(y = – 45m – 2\) cùng với đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2m{x^2} + x + 1\) tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là \({S_1},{S_2}\) thỏa mãn \({S_1} = {S_2}\) (xem hình vẽ). Số phần tử của tập \(X\) là
Câu hỏi:
(Sở Ninh Bình 2022) Gọi \(X\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d\): \(y = - 45m - 2\) cùng với đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2m{x^2} + x + 1\) tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là \({S_1},{S_2}\) thỏa mãn \({S_1} = {S_2}\) (xem hình vẽ). Số phần tử của tập \(X\) là
A. 0.
B. 2.
C. … [Đọc thêm...] về (Sở Ninh Bình 2022) Gọi \(X\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d\): \(y = – 45m – 2\) cùng với đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2m{x^2} + x + 1\) tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là \({S_1},{S_2}\) thỏa mãn \({S_1} = {S_2}\) (xem hình vẽ). Số phần tử của tập \(X\) là
(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài nửa đường chéo bằng 4. Biểu tượng 4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo.
Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} – x\) với hệ số \(a < 0\). Để kỷ niệm ngày thành lập \(2/3\), công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng \(\frac{2}{3}\). Tính \(2a + 2b\)
Câu hỏi:
(THPT Bùi Thị Xuân – Huế - 2022) Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài nửa đường chéo bằng 4. Biểu tượng 4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo.
Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba dạng \(y = a{x^3} + … [Đọc thêm...] về (THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài nửa đường chéo bằng 4. Biểu tượng 4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo. Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} – x\) với hệ số \(a < 0\). Để kỷ niệm ngày thành lập \(2/3\), công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng \(\frac{2}{3}\). Tính \(2a + 2b\)
(THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left[ { – 1,1} \right]\) và thỏa mãn \(f(x) + 2 = \frac{3}{2}\int_{ – 1}^1 {(x + t)} f(t)dt\). với \(\forall x \in [ – 1;1]\) Tính tích phân \(I = \int_{ – 1}^1 f (x)dx\)
Câu hỏi:
(THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left[ { - 1,1} \right]\) và thỏa mãn \(f(x) + 2 = \frac{3}{2}\int_{ - 1}^1 {(x + t)} f(t)dt\). với \(\forall x \in [ - 1;1]\) Tính tích phân \(I = \int_{ - 1}^1 f (x)dx\)
A. \(I = 3\)
B. \(l = 4\)
C. \(I = 2\)
D. \(\mathfrak{l} = 1\)
Lời giải:
\(\int_{ - 1}^1 {(x + t)} … [Đọc thêm...] về (THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left[ { – 1,1} \right]\) và thỏa mãn \(f(x) + 2 = \frac{3}{2}\int_{ – 1}^1 {(x + t)} f(t)dt\). với \(\forall x \in [ – 1;1]\) Tính tích phân \(I = \int_{ – 1}^1 f (x)dx\)
(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả män \(2f(x) + xf\prime (x) = 3x + 10,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f(1) = 6\). Biết
\(\int_{ – 1}^4 {\frac{{\ln (2 + \sqrt {f(x)} )}}{{{f^2}(x) – 6f(x) + 9}}} dx = a\ln 5 + b\ln 6 + \sqrt c \ln (2 + \sqrt 3 ),(a,b,c \in \mathbb{Q})\). Khi đó \(a + b + c\) thuộc khoàng nào dưới đây?
Câu hỏi:
(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả män \(2f(x) + xf\prime (x) = 3x + 10,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f(1) = 6\). Biết
\(\int_{ - 1}^4 {\frac{{\ln (2 + \sqrt {f(x)} )}}{{{f^2}(x) - 6f(x) + 9}}} dx = a\ln 5 + b\ln 6 + \sqrt c \ln (2 + \sqrt 3 ),(a,b,c \in \mathbb{Q})\). Khi đó \(a + b + c\) thuộc khoàng nào … [Đọc thêm...] về (Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả män \(2f(x) + xf\prime (x) = 3x + 10,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f(1) = 6\). Biết \(\int_{ – 1}^4 {\frac{{\ln (2 + \sqrt {f(x)} )}}{{{f^2}(x) – 6f(x) + 9}}} dx = a\ln 5 + b\ln 6 + \sqrt c \ln (2 + \sqrt 3 ),(a,b,c \in \mathbb{Q})\). Khi đó \(a + b + c\) thuộc khoàng nào dưới đây?
(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(2x.f’\left( x \right) + f\left( x \right) = 3{x^2}\sqrt x ,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\), tính \(f\left( 4 \right)\).
Câu hỏi:
(THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(2x.f'\left( x \right) + f\left( x \right) = 3{x^2}\sqrt x ,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\), tính \(f\left( 4 \right)\).
A. \(14\).
B. \(4\).
C. \(24\).
D. … [Đọc thêm...] về (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(2x.f’\left( x \right) + f\left( x \right) = 3{x^2}\sqrt x ,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\), tính \(f\left( 4 \right)\).
(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) \(\int_0^4 {\min } \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} dx{\rm{ }}\)bằng
Câu hỏi:
(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) \(\int_0^4 {\min } \{ 2x + 1,x + 2, - 3x + 14\} dx{\rm{ }}\)bằng
A. \(\frac{{31}}{2}\).
B. 30.
C. \(\frac{{27}}{2}\).
D. 36.
Lời giải:
Xét \(2x + 1 = x + 2 \Leftrightarrow x = 1;x + 2 = - 3x + 14 \Leftrightarrow x = 3; - 3x + 14 = 2x + 1 \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{5}\).
Vẽ đồ thị của ba hàm số … [Đọc thêm...] về (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) \(\int_0^4 {\min } \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} dx{\rm{ }}\)bằng
(Sở Bạc Liêu 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\,^{}}\,{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x \ge 0\\{x^2} – 2x + 2{\,^{}}{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x < 0\end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x – 1} \right)}}{x}{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + ce\) biết \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b + c?\)
Câu hỏi:
(Sở Bạc Liêu 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\,^{}}\,{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x \ge 0\\{x^2} - 2x + 2{\,^{}}{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x < 0\end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x - 1} \right)}}{x}{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + ce\) … [Đọc thêm...] về (Sở Bạc Liêu 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\,^{}}\,{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x \ge 0\\{x^2} – 2x + 2{\,^{}}{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,x < 0\end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x – 1} \right)}}{x}{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + ce\) biết \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a + b + c?\)
(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm \(O\), phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật \(ABCD\); hình vuông \(MNPQ\) có cạnh \(MN = 2m\) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh \(O\) như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/m2 và phần còn lại là 250.000 đồng/m2. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
Câu hỏi: (THPT Hương Sơn - Hà Tĩnh - 2022) Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm \(O\), phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật \(ABCD\); hình vuông \(MNPQ\) có cạnh \(MN = 2m\) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh \(O\) như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/m2 và phần còn lại là 250.000 đồng/m2. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần … [Đọc thêm...] về(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm \(O\), phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật \(ABCD\); hình vuông \(MNPQ\) có cạnh \(MN = 2m\) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh \(O\) như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/m2 và phần còn lại là 250.000 đồng/m2. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Giá trị biểu thức \(S = F\left( { – \pi } \right) + 2F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng
Câu hỏi:
(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Giá trị biểu thức \(S = F\left( { - \pi } \right) + 2F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng
A. \(S = \frac{3}{4} - \frac{\pi }{4}\).
B. \(S = \frac{3}{4} - \frac{{3\pi }}{4}\).
C. \(S = … [Đọc thêm...] về (Sở Hà Tĩnh 2022) Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Giá trị biểu thức \(S = F\left( { – \pi } \right) + 2F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng