Trắc nghiệm Ứng dụng Tích phân

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {\left( {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} - 4\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \). A. \( - … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {\left( {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right)^2} – 4\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \).

  Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)\(\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ. Biết hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) lần lượt là \( - 1\); \(1\); \(2\). Diện tích hình … [Đọc thêm...] về  Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)\(\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ. Biết hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) lần lượt là \( – 1\); \(1\); \(2\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng

  Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\), gọi \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{4};y =  - \frac{{{x^2}}}{4};x =  - 4;x = 4\) và \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình gồm tất cả các điểm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa \({x^2} + y{}^2 \le 16;{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \ge 4;{x^2} + {\left( {y + 2} … [Đọc thêm...] về  Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\), gọi \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{4};y =  – \frac{{{x^2}}}{4};x =  – 4;x = 4\) và \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình gồm tất cả các điểm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa \({x^2} + y{}^2 \le 16;{x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} \ge 4;{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \ge 4.\)

Hướng tới kỉ niệm \(50\) năm thành lập trường THPT X. Học sinh lớp 12T thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng \(8m\) và độ dài trục nhỏ bằng \(4m\) đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này và trục nhỏ của Elip kia cùng nằm trên một đường thẳng (như hình vẽ). Phần diện tích (tô màu) nằm trong đường tròn đi qua \(4\) giao điểm của hai Elip … [Đọc thêm...] vềHướng tới kỉ niệm \(50\) năm thành lập trường THPT X. Học sinh lớp 12T thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng \(8m\) và độ dài trục nhỏ bằng \(4m\) đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này và trục nhỏ của Elip kia cùng nằm trên một đường thẳng (như hình vẽ).

  Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = \left| x \right|\) và \(y = {x^2}\) quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng A. \(\frac{\pi }{6}\) B. \(\frac{\pi }{3}\) C. \(\frac{{2\pi }}{{15}}\) D. \(\frac{{4\pi }}{{15}}\) Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm \(\left| x \right| = {x^2}\)\( \Leftrightarrow \left[ … [Đọc thêm...] về  Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = \left| x \right|\) và \(y = {x^2}\) quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( x \right) >  - 1\), \(f\left( 0 \right) = 0\), và thỏa\(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \). Tính \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\). A. 0 B. 3 C. 7. D. 9 Lời giải Ta có \(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( x \right) >  – 1\), \(f\left( 0 \right) = 0\), và thỏa\(f’\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} \). Tính \(f\left( {\sqrt 3 } \right)\).

  Cho hình phẳng \(H\) giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 12\) và \(y = g\left( x \right) =  - x + 6\) (phần tô đậm trong hình). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(H\) xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? A. \(\frac{{216\pi }}{5}\). B. \(\frac{{949\pi }}{{15}}\). C. \(\frac{{817\pi }}{{15}}\). D. \(\frac{{836\pi … [Đọc thêm...] về  Cho hình phẳng \(H\) giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 8x + 12\) và \(y = g\left( x \right) =  – x + 6\) (phần tô đậm trong hình). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(H\) xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm liên tục trên đoạn \({\rm{[1}};3]\) thỏa mãn \(f(1) = 4\) và \(f(x) - (x + 3)f'(x) = 2x{f^2}(x),\forall x \in [1;3]\). Giá trị của \(\int_1^3 {f(x)dx} \)bằng A. \(1 + \ln 3\). B. \(2 - \ln 3\). C. \(2 + \ln 3\). D. \(1 - \ln 3\). Lời giải + Xét \(f(x) \ne 0\), theo giả thiết ta có \(f(x) - (x + 3)f'(x) = 2x{f^2}(x)\) ⇔ … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm liên tục trên đoạn \({\rm{[1}};3]\) thỏa mãn \(f(1) = 4\) và \(f(x) – (x + 3)f'(x) = 2x{f^2}(x),\forall x \in [1;3]\). Giá trị của \(\int_1^3 {f(x)dx} \)bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2 = \frac{3}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + t} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t} \) với \(\;\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\). Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng A. \(I = 3\). B. \(I = 4\). C. \(I = 2\). D. … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2 = \frac{3}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {x + t} \right)f\left( t \right){\rm{d}}t} \) với \(\;\forall x \in \left[ { – 1;1} \right]\). Khi đó \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m và chiều dài \(50\,{\rm{m}}\). Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ. Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong \(AIB\) là một parabol có đỉnh \(I.\) Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá \(130\) nghìn … [Đọc thêm...] vềÔng An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m và chiều dài \(50\,{\rm{m}}\). Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ. Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong \(AIB\) là một parabol có đỉnh \(I.\) Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá \(130\) nghìn đồng/\({{\rm{m}}^2}\) và phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá \(90\) nghìn đồng/\({{\rm{m}}^2}\). Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?