Cho hình phẳng \(H\) giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 8x + 12\) và \(y = g\left( x \right) =  – x + 6\) (phần tô đậm trong hình). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(H\) xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

  Cho hình phẳng \(H\) giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 8x + 12\) và \(y = g\left( x \right) =  – x + 6\) (phần tô đậm trong hình). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(H\) xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{{216\pi }}{5}\). B. \(\frac{{949\pi }}{{15}}\). C. \(\frac{{817\pi }}{{15}}\). D. \(\frac{{836\pi }}{{15}}\). Lời giải

Hình 1 biểu diễn thiết diện của mặt phẳng chứa trục hoành và khối tròn xoay tạo thành khi quay \(H\) xung quanh trục hoành. Gọi \(K\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 8x + 12\), \(y = g\left( x \right) =  – x + 6\), \(y =  – f\left( x \right) =  – {x^2} + 8x – 12\), \(y = 0\) như phần tô đậm ở hình 2. Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(H\) xung quanh trục hoành cũng là khối tròn xoay tạo thành khi quay \(K\) xung quanh trục hoành. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) và \(y =  – f\left( x \right)\) là nghiệm của phương trình \( – x + 6 =  – {x^2} + 8x – 12 \Leftrightarrow {x^2} – 9x + 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = 6}\end{array}} \right.\). Chia \(K\) thành 3 phần \({K_1},{K_2},{K_3}\) như hình 3. Khi đó thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(K\) xung quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_1^2 {\left[ {{{\left( { – x + 6} \right)}^2} – {{\left( {{x^2} – 8x + 12} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x + \pi \int\limits_2^3 {{{\left( { – x + 6} \right)}^2}{\rm{d}}x + \pi \int\limits_3^6 {{{\left( { – {x^2} + 8x – 12} \right)}^2}{\rm{d}}x = \frac{{836\pi }}{{15}}} } } \) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tìm là: \(V = \frac{{836\pi }}{{15}}\). =========== Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024