Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và luôn nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\), thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = \frac{1}{{{e^2}}}\) và \({f^3}\left( x \right) + {e^{ – 2x}} = 3{e^{ – x}}\sqrt {f\left( x \right)} .f’\left( x \right),\;\;\forall x \in \left( {2;4} \right)\). Khi đó \(f\left( {\frac{5}{2}} \right)\) thuộc khoảng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và luôn nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\), thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = \frac{1}{{{e^2}}}\) và \({f^3}\left( x \right) + {e^{ – 2x}} = 3{e^{ – x}}\sqrt {f\left( x \right)} .f’\left( x \right),\;\;\forall x \in \left( {2;4} \right)\). Khi đó \(f\left( {\frac{5}{2}} \right)\) thuộc khoảng

A. \(\left( {1;2} \right)\).

B. \(\left( {2;3} \right)\).

C. \(\left( {3;4} \right)\).

D. \(\left( {0;1} \right)\).

Lời giải

Đặt \(g(x) = \sqrt {{f^3}\left( x \right)}  \Rightarrow g’\left( x \right) = \frac{3}{2}f’\left( x \right)\sqrt {f\left( x \right)} \). Ta có

\({g^2}\left( x \right) + {e^{ – 2x}} = 2.{e^{ – x}}.g’\left( x \right) \Leftrightarrow {\left[ {{e^x}.g\left( x \right)} \right]^2} + 1 = 2.{e^x}.g’\left( x \right)\).

Nhận xét: \({\left[ {{e^x}.g\left( x \right)} \right]^’} = {e^x}.g\left( x \right) + {e^x}.g’\left( x \right) \Rightarrow {e^x}.g’\left( x \right) = {\left[ {{e^x}.g\left( x \right)} \right]^’} – {e^x}.g\left( x \right)\).

Suy ra:\({\left[ {{e^x}.g\left( x \right)} \right]^2} + 1 = 2\left[ {{{\left( {{e^x}.g\left( x \right)} \right)}^’} – {e^x}.g\left( x \right)} \right] \Leftrightarrow {\left[ {{e^x}.g\left( x \right) + 1} \right]^2} = 2{\left( {{e^x}.g\left( x \right)} \right)^’} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{e^x}.g\left( x \right)} \right)}^’}}}{{{{\left[ {{e^x}.g\left( x \right) + 1} \right]}^2}}} = \frac{1}{2}\).

\(\int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\frac{{{{\left( {{e^x}.g\left( x \right)} \right)}^’}}}{{{{\left[ {{e^x}.g\left( x \right) + 1} \right]}^2}}}dx}  = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\frac{1}{2}dx}  \Leftrightarrow  – \left. {\frac{1}{{{e^x}.g\left( x \right) + 1}}} \right|_{\frac{5}{2}}^3 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{{{e^{\frac{5}{2}}}.g\left( {\frac{5}{2}} \right) + 1}} – \frac{1}{{{e^3}.g\left( 3 \right) + 1}} = \frac{1}{4}\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{e^{\frac{5}{2}}}.g\left( {\frac{5}{2}} \right) + 1}} = \frac{1}{{{e^3}.\sqrt {{f^3}\left( 3 \right)}  + 1}} + \frac{1}{4} = \frac{1}{{{e^3}.\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right)}^3}}  + 1}} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

\( \Leftrightarrow g\left( {\frac{5}{2}} \right) \approx 0,0274 \Rightarrow f\left( {\frac{5}{2}} \right) \approx 0,09 \in \left( {0;1} \right)\).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024