Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp hai liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right) = 0,\,f”\left( x \right) – \left( {2x + 1} \right){e^x} = f\left( x \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp hai liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right) = 0,\,f”\left( x \right) – \left( {2x + 1} \right){e^x} = f\left( x \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng

A. \({e^2}\).

B. \(2{e^4}\).

C. \(2{e^2}\).

D. \({e^4}\).

Lời giải

Ta có: \(f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right) = 0,\,f”\left( x \right) = f\left( x \right) + \left( {2x + 1} \right){e^x} \Leftrightarrow f”\left( x \right) – f\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^x}\)

\( \Leftrightarrow f”\left( x \right).{e^x} – f\left( x \right).{e^x} = \left( {2x + 1} \right){e^{2x}} \Leftrightarrow \left[ {f”\left( x \right).{e^x} + f’\left( x \right).{e^x}} \right] – \left[ {f\left( x \right).{e^x} + f’\left( x \right).{e^x}} \right] = \left( {2x + 1} \right){e^{2x}}\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {f’\left( x \right).{e^x}} \right]^\prime } – {\left[ {f\left( x \right).{e^x}} \right]^\prime } = \left( {2x + 1} \right).{e^{2x}} \Rightarrow f’\left( x \right).{e^x} – f\left( x \right).{e^x} = \int {\left( {2x + 1} \right).{e^{2x}}dx} \)

\( \Leftrightarrow f’\left( x \right).{e^x} – f\left( x \right).{e^x} = x{e^{2x}} + C\). Khi: \(x = 0 \Rightarrow C = 0\)

Suy ra: \( \Leftrightarrow f’\left( x \right).{e^x} – f\left( x \right).{e^x} = x{e^{2x}} \Leftrightarrow \frac{{f’\left( x \right).{e^x} – f\left( x \right).{e^x}}}{{{e^{2x}}}} = x\)

.

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024