Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn:\(3f( – x) – 2f(x) = {\tan ^2}x\). Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh \(Ox\) bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục \(Ox\), trục tung và đường thẳng \(x = \frac{\pi }{4}\).

  Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn:\(3f( – x) – 2f(x) = {\tan ^2}x\). Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh \(Ox\) bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục \(Ox\), trục tung và đường thẳng \(x = \frac{\pi }{4}\).

A. \(\frac{{{\pi ^2}}}{{12}}\).

B. \(\frac{\pi }{{12}}\).

C. \(\frac{\pi }{2}\).

D. \(\frac{{{\pi ^2}}}{2}\).

Lời giải

Theo đề bài ta có: \(3f( – x) – 2f(x) = {\tan ^2}x\) (1)

Thay \(x\) bởi \( – x\) ta có \(3f(x) – 2f( – x) = {\tan ^2}\left( { – x} \right) = {\tan ^2}x\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(f(x) = {\tan ^2}x\)

Thể tích vật thể tròn xoay là:

\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^4}x} dx = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}x\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)} dx = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}x\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx – \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}x} dx\)

\( = \pi \frac{1}{3}\left( {{{\tan }^3}x – \tan x + x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{4}}\\_0\end{array} \right. = \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}\)

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024