Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Với số thực \(a > 0\), giả sử rằng mọi \(x \in \left[ {0;a} \right]\) ta có \(f\left( x \right) > 0\) và \(f\left( x \right)f\left( {a – x} \right) = 1\). Tính \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \).

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Với số thực \(a > 0\), giả sử rằng mọi \(x \in \left[ {0;a} \right]\) ta có \(f\left( x \right) > 0\) và \(f\left( x \right)f\left( {a – x} \right) = 1\). Tính \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \).

A. \(\frac{a}{3}\).

B. \(2a\).

C. \(a\ln \left( {1 + a} \right)\).

D. \(\frac{a}{2}\).

Lời giải

Do \(f\left( x \right)f\left( {a – x} \right) = 1\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;a} \right]\) nên \(f\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( {a – x} \right)}}\).

Ta có \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{f\left( {a – x} \right)}}}}{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^a {\frac{{f\left( {a – x} \right)}}{{f\left( {a – x} \right) + 1}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(a – x = t\) thì \({\rm{d}}x =  – {\rm{d}}t\). Với \(x = a \Rightarrow t = 0\); \(x = 0 \Rightarrow t = a\).

Ta được \(I =  – \int\limits_a^0 {\frac{{f\left( t \right)}}{{f\left( t \right) + 1}}{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^a {\frac{{f\left( t \right)}}{{f\left( t \right) + 1}}{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}}{\rm{d}}x{\rm{ }}} \)

Đặt \(J = \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}}{\rm{d}}x} \), ta được \(I = J\)

Do đó, ta có \(I + J = \int\limits_0^a {\frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}}{\rm{d}}x = } \int\limits_0^a {{\rm{d}}x}  = \left. x \right|_0^a = a\). Vậy \(I = \frac{a}{2}\).

===========

Đây là các câu File: Tương tự Câu 41 ỨNG DỤNG Tích Phân – DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – Vận dụng – Toán TK 2024