Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)

Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)
=========
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm.
==============

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $-x$ ta được $2f(-x)+f(x)=\cos x$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+f(-x)=\cos x\\&2f(-x)+f(x)=\cos x\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+2f(-x)=2\cos x\\&f(x)+2f(-x)=\cos x\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{1}{3}\cos x$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos x\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\sin x\bigg|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} =\dfrac{2}{3}$.
==============

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $-x$ ta được $2f(-x)+3f(x)=\dfrac{1}{4+x^2}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+3f(-x)=\dfrac{1}{4+x^2}\\&2f(-x)+3f(x)=\dfrac{1}{4+x^2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+6f(-x)=\dfrac{2}{4+x^2}\\&9f(x)+6f(-x)=\dfrac{3}{4+x^2}\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{1}{5(4+x^2)}$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{-2}^2 f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_{-2}^2 \dfrac{1}{4+x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\pi}{20}$.
==============

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được $(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4$.
$\Leftrightarrow (x^2-2x+1)f(1-x)+f(x)=1+2x-6x^2+4x^3-x^4$.$(1)$.
Ta có $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 \to f(1-x)=2x-x^4-x^2f(x)$. Thay vào $(1)$ ta được\\
$(x^2-2x+1)\left[2x-x^4-x^2f(x)\right]+f(x)=1+2x-6x^2+4x^3-x^4$.
$\Leftrightarrow (1-x^2+2x^3-x^4)f(x)=x^6-2x^5+2x^3-2x^2+1$.

$\Leftrightarrow (1-x^2+2x^3-x^4)f(x)=(1-x^2)(1-x^2+2x^3-x^4)$
$ \to f(x)=1-x^2$.

Vậy $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 (1-x^2)\mathrm{\,d}x=\left(x-\dfrac{1}{3}x^3\right)\bigg|_0^1 =\dfrac{2}{3}$.
==============

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $\dfrac{1}{x}$ ta được $f\left(\dfrac{1}{x}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x\\&f\left(\dfrac{1}{x}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x\\&4f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{6}{x}\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{2}{x}-x$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \left(\dfrac{2}{x^2}-1\right)\mathrm{d}x=\left(-\dfrac{2}{x}-x\right)\bigg|_{\tfrac{1}{2}}^2 =\dfrac{3}{2}$.
Cách khác. Từ $f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x \to f(x)=3x-2f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \left(3-2\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\right)\mathrm{d}x=3\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x-2\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\mathrm{\,d}x$.
Xét $J=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\mathrm{\,d}x$. Đặt $t=\dfrac{1}{x}$, suy ra $\mathrm{\,d}t=-\dfrac{1}{x^2}\mathrm{\,d}x=-t^2\mathrm{\,d}x \to \mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{t^2}\mathrm{\,d}t$.
Đổi cận: $\begin{cases}&x=\dfrac{1}{2} \to t=2\\&x=2 \to t=\dfrac{1}{2}\end{cases}$.
Khi đó $J=\displaystyle\int\limits_2^{\tfrac{1}{2}} tf(t)\left(-\dfrac{1}{t^2}\right)\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(t)}{t}\mathrm{\,d}t$
$=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=I$.
Vậy $I=3\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x-2I \to I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x=\dfrac{3}{2}$.
==============

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được $2f(1-x)+3f(x)=\sqrt{2x-x^2}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}\\&2f(1-x)+3f(x)=\sqrt{2x-x^2}\end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+6f(1-x)=2\sqrt{1-x^2}\\&9f(x)+6f(1-x)=3\sqrt{2x-x^2}\end{cases}$.
$ \to f(x)=\dfrac{3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}}{5}$.
Vậy $I=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_0^1 \left(3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}\right)\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{20}$.
Cách khác. Từ $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2} \to f(x)=\dfrac{1}{2}\left[\sqrt{1-x^2}-3f(1-x)\right]$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\left[\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x-3\displaystyle\int\limits_0^1 f(1-x)\mathrm{\,d}x\right]$.
Xét $J=\displaystyle\int\limits_0^1 f(1-x)\mathrm{\,d}x$.
Đặt $t=1-x \to \mathrm{\,d}t=-\mathrm{\,d}x$.
Đổi cận: $\begin{cases}&x=0 \to t=1\\&x=1 \to t=0\end{cases}$.
Khi đó $J=-\displaystyle\int\limits_1^0 f(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_0^1 f(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=I$.
Vậy $I=\dfrac{1}{2}\left[\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x-3I\right] \to I=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\pi}{20}$.