• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)

Đăng ngày: 10/02/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC) 1

Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)
=========
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm.
==============

Câu 41
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ và thỏa mãn $2f(x)+f(-x)=\cos x$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=-2$
$I=\dfrac{2}{3}$
$I=\dfrac{3}{2}$
$I=2$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $-x$ ta được $2f(-x)+f(x)=\cos x$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+f(-x)=\cos x\\&2f(-x)+f(x)=\cos x\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+2f(-x)=2\cos x\\&f(x)+2f(-x)=\cos x\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{1}{3}\cos x$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos x\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\sin x\bigg|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} =\dfrac{2}{3}$.
==============

Câu 42
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-2; 2]$ và thỏa mãn $2f(x)+3f(-x)=\dfrac{1}{4+x^2}$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{-2}^2 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=-\dfrac{\pi}{10}$
$I=-\dfrac{\pi}{20}$
$I=\dfrac{\pi}{20}$
$I=\dfrac{\pi}{10}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $-x$ ta được $2f(-x)+3f(x)=\dfrac{1}{4+x^2}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+3f(-x)=\dfrac{1}{4+x^2}\\&2f(-x)+3f(x)=\dfrac{1}{4+x^2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+6f(-x)=\dfrac{2}{4+x^2}\\&9f(x)+6f(-x)=\dfrac{3}{4+x^2}\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{1}{5(4+x^2)}$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{-2}^2 f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_{-2}^2 \dfrac{1}{4+x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\pi}{20}$.
==============

Câu 43
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0; 1]$ và thỏa mãn $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{1}{2}$
$I=\dfrac{3}{5}$
$I=\dfrac{2}{3}$
$I=\dfrac{4}{3}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được $(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4$.
$\Leftrightarrow (x^2-2x+1)f(1-x)+f(x)=1+2x-6x^2+4x^3-x^4$.$(1)$.
Ta có $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 \to f(1-x)=2x-x^4-x^2f(x)$. Thay vào $(1)$ ta được\\
$(x^2-2x+1)\left[2x-x^4-x^2f(x)\right]+f(x)=1+2x-6x^2+4x^3-x^4$.
$\Leftrightarrow (1-x^2+2x^3-x^4)f(x)=x^6-2x^5+2x^3-2x^2+1$.

$\Leftrightarrow (1-x^2+2x^3-x^4)f(x)=(1-x^2)(1-x^2+2x^3-x^4)$
$ \to f(x)=1-x^2$.

Vậy $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 (1-x^2)\mathrm{\,d}x=\left(x-\dfrac{1}{3}x^3\right)\bigg|_0^1 =\dfrac{2}{3}$.
==============

Câu 44
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[\dfrac{1}{2}; 2\right]$ và thỏa mãn $f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{1}{2}$
$I=\dfrac{3}{2}$
$I=\dfrac{5}{2}$
$I=\dfrac{7}{2}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $\dfrac{1}{x}$ ta được $f\left(\dfrac{1}{x}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x\\&f\left(\dfrac{1}{x}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x\\&4f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{6}{x}\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{2}{x}-x$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \left(\dfrac{2}{x^2}-1\right)\mathrm{d}x=\left(-\dfrac{2}{x}-x\right)\bigg|_{\tfrac{1}{2}}^2 =\dfrac{3}{2}$.
Cách khác. Từ $f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x \to f(x)=3x-2f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \left(3-2\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\right)\mathrm{d}x=3\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x-2\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\mathrm{\,d}x$.
Xét $J=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\mathrm{\,d}x$. Đặt $t=\dfrac{1}{x}$, suy ra $\mathrm{\,d}t=-\dfrac{1}{x^2}\mathrm{\,d}x=-t^2\mathrm{\,d}x \to \mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{t^2}\mathrm{\,d}t$.
Đổi cận: $\begin{cases}&x=\dfrac{1}{2} \to t=2\\&x=2 \to t=\dfrac{1}{2}\end{cases}$.
Khi đó $J=\displaystyle\int\limits_2^{\tfrac{1}{2}} tf(t)\left(-\dfrac{1}{t^2}\right)\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(t)}{t}\mathrm{\,d}t$
$=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=I$.
Vậy $I=3\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x-2I \to I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x=\dfrac{3}{2}$.
==============

Câu 45
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; 1]$ và thỏa mãn $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$\dfrac{\pi}{20}$
$\dfrac{\pi}{16}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được $2f(1-x)+3f(x)=\sqrt{2x-x^2}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}\\&2f(1-x)+3f(x)=\sqrt{2x-x^2}\end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+6f(1-x)=2\sqrt{1-x^2}\\&9f(x)+6f(1-x)=3\sqrt{2x-x^2}\end{cases}$.
$ \to f(x)=\dfrac{3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}}{5}$.
Vậy $I=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_0^1 \left(3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}\right)\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{20}$.
Cách khác. Từ $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2} \to f(x)=\dfrac{1}{2}\left[\sqrt{1-x^2}-3f(1-x)\right]$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\left[\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x-3\displaystyle\int\limits_0^1 f(1-x)\mathrm{\,d}x\right]$.
Xét $J=\displaystyle\int\limits_0^1 f(1-x)\mathrm{\,d}x$.
Đặt $t=1-x \to \mathrm{\,d}t=-\mathrm{\,d}x$.
Đổi cận: $\begin{cases}&x=0 \to t=1\\&x=1 \to t=0\end{cases}$.
Khi đó $J=-\displaystyle\int\limits_1^0 f(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_0^1 f(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=I$.
Vậy $I=\dfrac{1}{2}\left[\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x-3I\right] \to I=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\pi}{20}$.

Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Bài liên quan:

  1. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{ – 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\). Tính tích phân

    \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{x.f\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx + \int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} {{e^{2x}}.f\left( {1 + {e^{2x}}} \right)dx} \)

  2. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\x&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Khi đó \(I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos xf\left( {\sin x} \right)} dx\)bằng

  3. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\2{x^2} – x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( {3\cos x – 2} \right)} \sin x{\rm{d}}x\).

  4. Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)Tích phân \(\int_{ – 2}^8 {f\left( x \right)} dx\) bằng

  5. Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {1 + x} \right| – \left| {1 – x} \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\). Tính tổng \(F\left( 0 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( { – 3} \right)\).

  6. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1}\\{x + 1}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1}\end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{ – 2}^1 {f(\sqrt[3]{{1 – x}}){\rm{d}}x}  = \frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó \(m – 2n\) bằng:

  7. Cho hai hàm \(f(x)\) và \(g(x)\)có đạo hàm trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f(1) = g(1) = 0\) và

    \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) + 2017x = (x + 1)f'(x)\\\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'(x) + f(x) = 2018{x^2}\end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)

    Tính tích phân\(I = \int\limits_1^2 {\left[ {\frac{x}{{x + 1}}g(x) – \frac{{x + 1}}{x}f(x)} \right]} dx\).

  8. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}3x + 3\,\,\,{\rm{khi }}x < \frac{1}{2}\\x + 4\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)} \cos x{\rm{d}}x\).

  9. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}1 – {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\2x – 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {5\sin 2x – 1} \right)} \cos 2x{\rm{d}}x\).

  10. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} – 1\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0\\x – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le x \le 2\\5 – 2x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 2\,\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {2 – 7\tan x} \right)} \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x\).

  11. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0,{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f’\left( x \right) =  – {e^x}{f^2}\left( x \right),{\kern 1pt} \;\forall x \in \mathbb{R}\\f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

    Tính giá trị của \(f\left( {\ln 2} \right)\).

  12. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^3} – x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{ – 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{f\left( {\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int\limits_0^{\sqrt {\sqrt e  – 1} } {\frac{{x.f\left( {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right)}}{{{x^2} + 1}}} dx = \frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a + b\) bằng

  13. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{2x – 3}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x – 1)\cos x\;dx}  + \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx}  = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tích \(a + b\) bằng

  14. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4\), \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {2x + 1} \right|} \right){\rm{d}}x} \)

  15. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x – 4\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\4 – 2x\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3 – 4{{\cos }^2}x} \right)} \sin 2x{\rm{d}}x\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.