• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 12 / Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)

Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)

10/02/2020 by admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 12 Tag với:Tích phân hàm ẩn

Tính tích phân bằng Kỹ thuật phương trình hàm (VDC)
=========
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm.
==============

Câu 41
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ và thỏa mãn $2f(x)+f(-x)=\cos x$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=-2$
$I=\dfrac{2}{3}$
$I=\dfrac{3}{2}$
$I=2$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $-x$ ta được $2f(-x)+f(x)=\cos x$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+f(-x)=\cos x\\&2f(-x)+f(x)=\cos x\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+2f(-x)=2\cos x\\&f(x)+2f(-x)=\cos x\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{1}{3}\cos x$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos x\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\sin x\bigg|_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} =\dfrac{2}{3}$.
==============

Câu 42
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-2; 2]$ và thỏa mãn $2f(x)+3f(-x)=\dfrac{1}{4+x^2}$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{-2}^2 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=-\dfrac{\pi}{10}$
$I=-\dfrac{\pi}{20}$
$I=\dfrac{\pi}{20}$
$I=\dfrac{\pi}{10}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $-x$ ta được $2f(-x)+3f(x)=\dfrac{1}{4+x^2}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+3f(-x)=\dfrac{1}{4+x^2}\\&2f(-x)+3f(x)=\dfrac{1}{4+x^2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+6f(-x)=\dfrac{2}{4+x^2}\\&9f(x)+6f(-x)=\dfrac{3}{4+x^2}\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{1}{5(4+x^2)}$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{-2}^2 f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_{-2}^2 \dfrac{1}{4+x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\pi}{20}$.
==============

Câu 43
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0; 1]$ và thỏa mãn $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{1}{2}$
$I=\dfrac{3}{5}$
$I=\dfrac{2}{3}$
$I=\dfrac{4}{3}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được $(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4$.
$\Leftrightarrow (x^2-2x+1)f(1-x)+f(x)=1+2x-6x^2+4x^3-x^4$.$(1)$.
Ta có $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 \to f(1-x)=2x-x^4-x^2f(x)$. Thay vào $(1)$ ta được\\
$(x^2-2x+1)\left[2x-x^4-x^2f(x)\right]+f(x)=1+2x-6x^2+4x^3-x^4$.
$\Leftrightarrow (1-x^2+2x^3-x^4)f(x)=x^6-2x^5+2x^3-2x^2+1$.

$\Leftrightarrow (1-x^2+2x^3-x^4)f(x)=(1-x^2)(1-x^2+2x^3-x^4)$
$ \to f(x)=1-x^2$.

Vậy $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 (1-x^2)\mathrm{\,d}x=\left(x-\dfrac{1}{3}x^3\right)\bigg|_0^1 =\dfrac{2}{3}$.
==============

Câu 44
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[\dfrac{1}{2}; 2\right]$ và thỏa mãn $f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$I=\dfrac{1}{2}$
$I=\dfrac{3}{2}$
$I=\dfrac{5}{2}$
$I=\dfrac{7}{2}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $\dfrac{1}{x}$ ta được $f\left(\dfrac{1}{x}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x\\&f\left(\dfrac{1}{x}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x\\&4f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{6}{x}\end{cases}$
$\to f(x)=\dfrac{2}{x}-x$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \left(\dfrac{2}{x^2}-1\right)\mathrm{d}x=\left(-\dfrac{2}{x}-x\right)\bigg|_{\tfrac{1}{2}}^2 =\dfrac{3}{2}$.
Cách khác. Từ $f(x)+2f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x \to f(x)=3x-2f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \left(3-2\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\right)\mathrm{d}x=3\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x-2\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\mathrm{\,d}x$.
Xét $J=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x}\mathrm{\,d}x$. Đặt $t=\dfrac{1}{x}$, suy ra $\mathrm{\,d}t=-\dfrac{1}{x^2}\mathrm{\,d}x=-t^2\mathrm{\,d}x \to \mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{t^2}\mathrm{\,d}t$.
Đổi cận: $\begin{cases}&x=\dfrac{1}{2} \to t=2\\&x=2 \to t=\dfrac{1}{2}\end{cases}$.
Khi đó $J=\displaystyle\int\limits_2^{\tfrac{1}{2}} tf(t)\left(-\dfrac{1}{t^2}\right)\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(t)}{t}\mathrm{\,d}t$
$=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x=I$.
Vậy $I=3\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x-2I \to I=\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^2 \mathrm{\,d}x=\dfrac{3}{2}$.
==============

Câu 45
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; 1]$ và thỏa mãn $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x$.
Các phương án chọn từ trên xuống là A B C D
$\dfrac{\pi}{20}$
$\dfrac{\pi}{16}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$

Lời Giải:
Từ giả thiết, thay $x$ bằng $1-x$ ta được $2f(1-x)+3f(x)=\sqrt{2x-x^2}$.
Do đó ta có hệ $\begin{cases}&2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}\\&2f(1-x)+3f(x)=\sqrt{2x-x^2}\end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}&4f(x)+6f(1-x)=2\sqrt{1-x^2}\\&9f(x)+6f(1-x)=3\sqrt{2x-x^2}\end{cases}$.
$ \to f(x)=\dfrac{3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}}{5}$.
Vậy $I=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_0^1 \left(3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}\right)\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{20}$.
Cách khác. Từ $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2} \to f(x)=\dfrac{1}{2}\left[\sqrt{1-x^2}-3f(1-x)\right]$.
Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\left[\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x-3\displaystyle\int\limits_0^1 f(1-x)\mathrm{\,d}x\right]$.
Xét $J=\displaystyle\int\limits_0^1 f(1-x)\mathrm{\,d}x$.
Đặt $t=1-x \to \mathrm{\,d}t=-\mathrm{\,d}x$.
Đổi cận: $\begin{cases}&x=0 \to t=1\\&x=1 \to t=0\end{cases}$.
Khi đó $J=-\displaystyle\int\limits_1^0 f(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_0^1 f(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=I$.
Vậy $I=\dfrac{1}{2}\left[\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x-3I\right] \to I=\dfrac{1}{5}\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\pi}{20}$.

Bài liên quan:

  • Ôn tập phép đổi cận đổi biến trong tích phân
  • Một số thủ thuật tính tích phân hàm ẩn – tự luận và Casio
  • Tìm GTLN-GTNN của tích phân
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 – Kỹ thuật Holder 2
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 – Kỹ thuật Holder
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đạo hàm đúng
  • Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật biến đổi
  • Tính tích phân hàm ẩn dựa vào tính chất (VDC)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 12
  • Chương 1: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
  • Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
  • Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
  • Chương 4: Số Phức
  • Chương 1: Khối Đa Diện
  • Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
  • Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian




Booktoan.com (2015 - 2020) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.