Tìm xác suất có điều kiện trong bài toán lấy quả cầu từ hai hộp

1. Đề bài

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 5 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó trộn đều rồi lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp thứ hai. Biết rằng quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai là quả cầu màu đỏ, tính xác suất để quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là quả cầu màu đỏ.

2. Dạng toán

Xác suất có điều kiện – Toán 12 (Áp dụng công thức xác suất toàn phần và định lý Bayes).

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Gọi các biến cố tạo thành một hệ đầy đủ liên quan đến phép thử thứ nhất (lấy quả cầu từ hộp 1).
• Bước 2: Gọi biến cố liên quan đến phép thử thứ hai (lấy quả cầu từ hộp 2). Tính xác suất của biến cố này theo công thức xác suất toàn phần.
• Bước 3: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện để tính yêu cầu bài toán: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất là quả cầu màu đỏ”.

Gọi $A_2$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất là quả cầu màu xanh”.

Hệ $\{A_1, A_2\}$ là một hệ biến cố đầy đủ. Ta có:

• $P(A_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
• $P(A_2) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Gọi $B$ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai là quả cầu màu đỏ”. Bài toán yêu cầu tính $P(A_1|B)$.

Nếu $A_1$ xảy ra, ta đã chuyển 1 quả cầu đỏ vào hộp thứ hai. Lúc này, hộp thứ hai có $5+1=6$ quả đỏ và $3$ quả xanh (tổng cộng 9 quả). Do đó, xác suất lấy được quả đỏ từ hộp thứ hai lúc này là: $P(B|A_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Nếu $A_2$ xảy ra, ta đã chuyển 1 quả cầu xanh vào hộp thứ hai. Lúc này, hộp thứ hai có $5$ quả đỏ và $3+1=4$ quả xanh (tổng cộng 9 quả). Do đó, xác suất lấy được quả đỏ từ hộp thứ hai lúc này là: $P(B|A_2) = \frac{5}{9}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất để lấy được quả đỏ từ hộp 2 là:

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{15} + \frac{15}{45} = \frac{12}{45} + \frac{15}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}$.

Theo định lý Bayes, xác suất để quả cầu lấy ra từ hộp 1 là màu đỏ biết quả hộp 2 là màu đỏ là:

$P(A_1|B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{15} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{9}$.

Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{4}{9}$.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Một bài xét nghiệm y tế phát hiện bệnh $X$ có độ chính xác là 95% đối với người mắc bệnh (dương tính thật) và có tỷ lệ dương tính giả là 5% đối với người không mắc bệnh. Biết tỷ lệ người mắc bệnh $X$ trong cộng đồng là 2%. Một người đi xét nghiệm cho kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

Câu 2: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,8 và của người thứ hai là 0,6. Biết rằng chỉ có đúng 1 viên đạn trúng mục tiêu. Tính xác suất viên đạn trúng là của người thứ nhất.

Câu 3: Hộp thứ nhất có 3 bi trắng và 7 bi đen. Hộp thứ hai có 6 bi trắng và 4 bi đen. Người ta chọn ngẫu nhiên một hộp, sau đó từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Biết viên bi lấy ra là bi trắng, tính xác suất để viên bi đó thuộc hộp thứ nhất.

Câu 4: Trong một trường THPT, học sinh nữ chiếm 55%, học sinh nam chiếm 45%. Tỷ lệ học sinh giỏi của nữ là 15%, của nam là 12%. Gặp ngẫu nhiên một học sinh trong trường, biết học sinh đó là học sinh giỏi, tính xác suất học sinh đó là nam.

Câu 5: Có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại chi tiết máy. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng 1, 2, 3 lần lượt là 2%, 3%, 1%. Năng suất của ba phân xưởng là như nhau. Một người mua một sản phẩm và thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm này do phân xưởng 1 sản xuất.

Xem đáp án và lời giải

Câu 1: Gọi $B$ là biến cố mắc bệnh, $P(B) = 0.02$. Xét nghiệm dương tính là $D$. Ta có $P(D|B) = 0.95$, $P(D|\overline{B}) = 0.05$. Vậy $P(D) = 0.02 \cdot 0.95 + 0.98 \cdot 0.05 = 0.068$. Xác suất cần tìm: $P(B|D) = \frac{0.019}{0.068} = \frac{19}{68} \approx 27.94\%$.

Câu 2: Gọi $A_1, A_2$ là biến cố người 1, người 2 bắn trúng. Gọi $C$ là có đúng 1 người trúng. $P(C) = P(A_1 \overline{A_2}) + P(\overline{A_1} A_2) = 0.8 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.6 = 0.44$. Xác suất người 1 trúng là: $P(A_1 \overline{A_2} | C) = \frac{0.32}{0.44} = \frac{8}{11}$.

Câu 3: Gọi $H_1, H_2$ là biến cố chọn hộp 1, hộp 2. $P(H_1) = P(H_2) = 0.5$. Gọi $T$ là chọn được bi trắng. $P(T) = 0.5 \cdot 0.3 + 0.5 \cdot 0.6 = 0.45$. Xác suất bi thuộc hộp 1: $P(H_1|T) = \frac{0.15}{0.45} = \frac{1}{3}$.

Câu 4: Gọi $N$ là học sinh nam, $P(N)=0.45$; Nữ là $\overline{N}$, $P(\overline{N})=0.55$. Học sinh giỏi là $G$. $P(G) = 0.55 \cdot 0.15 + 0.45 \cdot 0.12 = 0.1365$. Xác suất học sinh nam: $P(N|G) = \frac{0.054}{0.1365} = \frac{36}{91}$.

Câu 5: Vì năng suất như nhau nên xác suất chọn sản phẩm của mỗi xưởng là $\frac{1}{3}$. Gọi $F$ là phế phẩm. $P(F) = \frac{1}{3}(0.02 + 0.03 + 0.01) = 0.02$. Xác suất sản phẩm của xưởng 1: $P(X_1|F) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0.02}{0.02} = \frac{1}{3}$.