Bài toán gốc
Tìm $\int{e^{-3x+4}\text{d}x}$
A. $-3.e^{-3x+4}+C$
B. $-\dfrac{e^{-3x+4}}{2}+C$
C. $-\dfrac{e^{-3x+4}}{3}+C$
D. $-4.e^{-3x+4}+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm của hàm số mũ cơ bản $f(x) = e^{ax+b}$. Phương pháp giải chủ yếu là áp dụng công thức nguyên hàm tổng quát cho hàm hợp tuyến tính: $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$ (với $a \neq 0$). Trong bài toán gốc, $a=-3$ và $b=4$.
Bài toán tương tự
1. Tìm $\int{e^{5x-2}\text{d}x}$.
A. $\frac{1}{5}e^{5x-2}+C$
B. $5e^{5x-2}+C$
C. $-\frac{1}{5}e^{5x-2}+C$
D. $e^{5x-2}+C$
Đáp án đúng: A. Giải thích: Áp dụng công thức $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$. Với $a=5$, ta có $\frac{1}{5}e^{5x-2}+C$.
2. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4e^{-2x+1}$.
A. $-8e^{-2x+1}+C$
B. $-2e^{-2x+1}+C$
C. $2e^{-2x+1}+C$
D. $4e^{-2x+1}+C$
Đáp án đúng: B. Giải thích: $\int 4e^{-2x+1} dx = 4 \cdot \frac{1}{-2} e^{-2x+1} + C = -2e^{-2x+1} + C$.
3. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3\cos(3x – \frac{\pi}{4})$.
A. $\sin(3x – \frac{\pi}{4}) + C$
B. $9\sin(3x – \frac{\pi}{4}) + C$
C. $-\sin(3x – \frac{\pi}{4}) + C$
D. $\frac{1}{3}\sin(3x – \frac{\pi}{4}) + C$
Đáp án đúng: A. Giải thích: Áp dụng công thức $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C$. Ta có $\int 3\cos(3x – \frac{\pi}{4}) dx = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin(3x – \frac{\pi}{4}) + C = \sin(3x – \frac{\pi}{4}) + C$. (Sử dụng hàm lượng giác có dạng hợp tuyến tính tương tự).
4. Tính $\int e^{\frac{x}{2} + 5} dx$.
A. $\frac{1}{2} e^{\frac{x}{2} + 5} + C$
B. $2 e^{\frac{x}{2} + 5} + C$
C. $e^{\frac{x}{2} + 5} + C$
D. $5 e^{\frac{x}{2} + 5} + C$
Đáp án đúng: B. Giải thích: Hàm số có dạng $e^{ax+b}$ với $a = 1/2$. Nguyên hàm là $\frac{1}{1/2} e^{\frac{x}{2} + 5} + C = 2 e^{\frac{x}{2} + 5} + C$.
5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2e^{x} – (3x+2)^2$.
A. $2e^{x} – \frac{1}{9}(3x+2)^3 + C$
B. $2e^{x} – \frac{1}{3}(3x+2)^3 + C$
C. $2e^{x} – \frac{1}{6}(3x+2)^3 + C$
D. $2e^{x} – (3x+2)^3 + C$
Đáp án đúng: A. Giải thích: $\int f(x) dx = \int 2e^{x} dx – \int (3x+2)^2 dx$. $\int 2e^x dx = 2e^x + C_1$. Áp dụng $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C$. Với $a=3, n=2$, ta có $\int (3x+2)^2 dx = \frac{1}{3(2+1)}(3x+2)^3 + C_2 = \frac{1}{9}(3x+2)^3 + C_2$. Kết quả: $2e^{x} – \frac{1}{9}(3x+2)^3 + C$.