Bài toán gốc
Tìm $\int{\dfrac{3}{x^2-11x+30}\text{d}x}$
A. $3\ln\left| \dfrac{x-6}{x-5}\right|+C$
B. $-3\ln\left| \dfrac{x-6}{x-5}\right|+C$
C. $-3\ln \dfrac{x-6}{x-5}+C$
D. $3\ln \dfrac{x-6}{x-5}+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ có dạng $I = \int \dfrac{k}{ax^2+bx+c} dx$. Mẫu số là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, tức là $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$. Phương pháp giải là sử dụng phân tích thành tổng của các phân thức đơn giản (phương pháp đồng nhất thức hoặc che) theo công thức: $\dfrac{k}{(x-x_1)(x-x_2)} = \dfrac{A}{x-x_1} + \dfrac{B}{x-x_2}$. Sau khi tìm được $A$ và $B$, nguyên hàm sẽ là $A\ln|x-x_1| + B\ln|x-x_2| + C$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự và đáp án:
**1.** Tìm nguyên hàm $I = \int \dfrac{5}{x^2-7x+12} dx$.
A. $5\ln\left|\dfrac{x-4}{x-3}\right| + C$
B. $-5\ln\left|\dfrac{x-4}{x-3}\right| + C$
C. $\ln\left|\dfrac{x-4}{x-3}\right| + C$
D. $5\ln\left|x-3\right| – 5\ln\left|x-4\right| + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $x^2-7x+12 = (x-3)(x-4)$. Phân tích: $\dfrac{5}{(x-3)(x-4)} = \dfrac{A}{x-3} + \dfrac{B}{x-4}$. Đồng nhất thức: $5 = A(x-4) + B(x-3)$. Cho $x=4 \implies B=5$. Cho $x=3 \implies 5 = A(-1) \implies A=-5$. Vậy $I = \int \left( \dfrac{-5}{x-3} + \dfrac{5}{x-4} \right) dx = 5\ln|x-4| – 5\ln|x-3| + C = 5\ln\left|\dfrac{x-4}{x-3}\right| + C$.
**2.** Tính nguyên hàm $I = \int \dfrac{4}{x^2+2x-3} dx$.
A. $\ln\left|\dfrac{x-1}{x+3}\right| + C$
B. $4\ln\left|\dfrac{x-1}{x+3}\right| + C$
C. $2\ln|x-1| – 2\ln|x+3| + C$
D. $\ln\left|\dfrac{x+3}{x-1}\right| + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$. Phân tích: $\dfrac{4}{(x-1)(x+3)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+3}$. Đồng nhất thức: $4 = A(x+3) + B(x-1)$. Cho $x=1 \implies 4=4A \implies A=1$. Cho $x=-3 \implies 4 = -4B \implies B=-1$. Vậy $I = \int \left( \dfrac{1}{x-1} – \dfrac{1}{x+3} \right) dx = \ln|x-1| – \ln|x+3| + C = \ln\left|\dfrac{x-1}{x+3}\right| + C$.
**3.** Tính nguyên hàm $I = \int \dfrac{6}{x^2+x-6} dx$.
A. $2\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right| + C$
B. $2\ln|x+3| – 2\ln|x-2| + C$
C. $3\ln|x-2| – 3\ln|x+3| + C$
D. $\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|^2 + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $x^2+x-6 = (x-2)(x+3)$. Phân tích: $\dfrac{6}{(x-2)(x+3)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x+3}$. Đồng nhất thức: $6 = A(x+3) + B(x-2)$. Cho $x=2 \implies 6=5A \implies A=6/5$. Cho $x=-3 \implies 6 = -5B \implies B=-6/5$.
$I = \int \left( \dfrac{6/5}{x-2} – \dfrac{6/5}{x+3} \right) dx = \dfrac{6}{5}(\ln|x-2| – \ln|x+3|) + C = \dfrac{6}{5}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right| + C$. (LƯU Ý: Đề bài này có kết quả hơi khác, cần kiểm tra lại đáp án nếu muốn $A, B$ nguyên. Nếu giữ nguyên đáp án A, ta phải thay số 6 bằng 10).
*Điều chỉnh lại câu 3 để đáp án dễ chọn hơn (sử dụng 5A và 5B).*
**3 (Điều chỉnh).** Tính nguyên hàm $I = \int \dfrac{10}{x^2+x-6} dx$.
A. $2\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right| + C$
B. $2\ln|x+3| – 2\ln|x-2| + C$
C. $3\ln|x-2| – 3\ln|x+3| + C$
D. $\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|^2 + C$
Đáp án đúng: D (vì D tương đương A).
Lời giải ngắn gọn: $x^2+x-6 = (x-2)(x+3)$. Phân tích: $\dfrac{10}{(x-2)(x+3)} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x+3}$. Cho $x=2 \implies 10=5A \implies A=2$. Cho $x=-3 \implies 10 = -5B \implies B=-2$. $I = \int \left( \dfrac{2}{x-2} – \dfrac{2}{x+3} \right) dx = 2(\ln|x-2| – \ln|x+3|) + C = 2\ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right| + C = \ln\left|\dfrac{x-2}{x+3}\right|^2 + C$. (Chọn D)
**4.** Tìm nguyên hàm $I = \int \dfrac{8}{x^2-16} dx$.
A. $\ln\left|\dfrac{x-4}{x+4}\right| + C$
B. $\ln\left|\dfrac{x+4}{x-4}\right| + C$
C. $2\ln\left|\dfrac{x-4}{x+4}\right| + C$
D. $4\ln\left|\dfrac{x+4}{x-4}\right| + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $x^2-16 = (x-4)(x+4)$. Phân tích: $\dfrac{8}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{A}{x-4} + \dfrac{B}{x+4}$. Đồng nhất thức: $8 = A(x+4) + B(x-4)$. Cho $x=4 \implies 8=8A \implies A=1$. Cho $x=-4 \implies 8 = -8B \implies B=-1$. $I = \int \left( \dfrac{1}{x-4} – \dfrac{1}{x+4} \right) dx = \ln|x-4| – \ln|x+4| + C = \ln\left|\dfrac{x-4}{x+4}\right| + C$.
**5.** (Tự luận) Tính nguyên hàm $I = \int \dfrac{1}{2x^2+5x+2} dx$.
Đáp án: $\dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{x+2}{2x+1}\right| + C$.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $2x^2+5x+2 = (2x+1)(x+2)$. Phân tích: $\dfrac{1}{(2x+1)(x+2)} = \dfrac{A}{2x+1} + \dfrac{B}{x+2}$. Đồng nhất thức: $1 = A(x+2) + B(2x+1)$. Cho $x=-2 \implies 1 = B(-3) \implies B = -1/3$. Cho $x=-1/2 \implies 1 = A(3/2) \implies A = 2/3$.
$I = \int \left( \dfrac{2/3}{2x+1} – \dfrac{1/3}{x+2} \right) dx = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \ln|2x+1| – \dfrac{1}{3} \ln|x+2| + C = \dfrac{1}{3}(\ln|2x+1| – \ln|x+2|) + C$.
(Sai sót trong việc sắp xếp A, B ban đầu, kết quả cuối là $\dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{2x+1}{x+2}\right| + C$.)
*Sửa lại đáp án theo thứ tự phép tính:* $\dfrac{1}{3}\ln\left|\dfrac{2x+1}{x+2}\right| + C$