Bài toán gốc
Tìm $\int{5(-5x-4)^8\text{d}x}$
A. $\dfrac{5}{9}(-5x-4)^9+C$
B. $-\dfrac{1}{9}(-5x-4)^9+C$
C. $-\dfrac{1}{8}(-5x-4)^9+C$
D. $\dfrac{5}{8}(-5x-4)^9+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm (tích phân bất định) của hàm số lũy thừa có dạng $k(ax+b)^n$. Phương pháp giải nhanh nhất là sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: $\int (ax+b)^n \text{d}x = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Hoặc có thể sử dụng phương pháp đổi biến số $u = ax+b$. Trong bài toán gốc, ta có $k=5, a=-5, n=8$. Kết quả là $5 \cdot \frac{1}{-5} \cdot \frac{(-5x-4)^{9}}{9} + C = -\frac{1}{9}(-5x-4)^9+C$.
Bài toán tương tự
1. Tìm $\int{3(2x+1)^5\text{d}x}$
A. $\frac{1}{2}(2x+1)^6+C$
B. $\frac{1}{4}(2x+1)^6+C$
C. $3(2x+1)^6+C$
D. $\frac{1}{6}(2x+1)^6+C$
Đáp án đúng: B. Giải thích: Áp dụng công thức, ta có $3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{5+1}}{5+1} + C = \frac{3}{12}(2x+1)^6 + C = \frac{1}{4}(2x+1)^6 + C$.
2. Tìm $\int{-4(3-4x)^7\text{d}x}$
A. $-\frac{1}{8}(3-4x)^8+C$
B. $\frac{1}{7}(3-4x)^8+C$
C. $\frac{1}{8}(3-4x)^8+C$
D. $\frac{1}{32}(3-4x)^8+C$
Đáp án đúng: C. Giải thích: Áp dụng công thức, ta có $-4 \cdot \frac{1}{-4} \cdot \frac{(3-4x)^8}{8} + C = 1 \cdot \frac{(3-4x)^8}{8} + C = \frac{1}{8}(3-4x)^8 + C$.
3. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 12(6x-5)^3$.
A. $3(6x-5)^4+C$
B. $\frac{1}{2}(6x-5)^4+C$
C. $\frac{1}{12}(6x-5)^4+C$
D. $2(6x-5)^4+C$
Đáp án đúng: B. Giải thích: $\int 12(6x-5)^3 \text{d}x = 12 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x-5)^4}{4} + C = 2 \cdot \frac{(6x-5)^4}{4} + C = \frac{1}{2}(6x-5)^4 + C$.
4. Tính $I = \int{\frac{10}{(5x+2)^2}\text{d}x}$.
A. $\frac{2}{5x+2} + C$
B. $-\frac{2}{5x+2} + C$
C. $\frac{10}{5x+2} + C$
D. $-\frac{1}{5x+2} + C$
Đáp án đúng: B. Giải thích: Ta có $I = \int 10(5x+2)^{-2} \text{d}x = 10 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x+2)^{-1}}{-1} + C = -2(5x+2)^{-1} + C = -\frac{2}{5x+2} + C$.
5. Tính $I = \int{6\sqrt{3x-2}\text{d}x}$.
A. $4(3x-2)\sqrt{3x-2} + C$
B. $\frac{4}{3}(3x-2)\sqrt{3x-2} + C$
C. $\frac{2}{3}(3x-2)\sqrt{3x-2} + C$
D. $\frac{1}{2}(3x-2)\sqrt{3x-2} + C$
Đáp án đúng: B. Giải thích: Ta có $I = \int 6(3x-2)^{1/2} \text{d}x$. Áp dụng công thức: $6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{3/2}}{3/2} + C = 2 \cdot \frac{2}{3} (3x-2)^{3/2} + C = \frac{4}{3} (3x-2)\sqrt{3x-2} + C$. (Lưu ý: $(3x-2)^{3/2} = (3x-2)\sqrt{3x-2}$).