Bài toán gốc
Tìm $\int{-2\cos 10x.\cos 3x\text{d}x}$
A. $\cos 7x+\cos 13x+C$
B. $\dfrac{2}{7}\cos 7x+\dfrac{2}{13}\cos 13x+C$
C. $-\dfrac{1}{7}\sin 7x-\dfrac{1}{13}\sin 13x+C$
D. $\dfrac{1}{7}\sin 7x+\dfrac{1}{13}\sin 13x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm của tích các hàm lượng giác. Phương pháp giải chính là sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$. Sau khi biến đổi, ta sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int \cos(ax+b) dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax+b) + C$.
Bài toán tương tự
1. Tìm nguyên hàm $I = \int 4\cos 5x.\cos x\text{d}x$.
A. $\dfrac{1}{3}\sin 6x + \dfrac{1}{2}\sin 4x + C$
B. $2\sin 6x + 2\sin 4x + C$
C. $\dfrac{1}{3}\cos 6x + \dfrac{1}{2}\cos 4x + C$
D. $2\cos 6x + 2\cos 4x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $4\cos 5x\cos x = 2(2\cos 5x\cos x) = 2(\cos(5x+x) + \cos(5x-x)) = 2\cos 6x + 2\cos 4x$. Khi đó $I = \int (2\cos 6x + 2\cos 4x) dx = 2\left(\dfrac{1}{6}\sin 6x + \dfrac{1}{4}\sin 4x\right) + C = \dfrac{1}{3}\sin 6x + \dfrac{1}{2}\sin 4x + C$.
2. Tìm nguyên hàm $I = \int 6\sin 4x.\cos 2x\text{d}x$.
A. $\dfrac{3}{2}\cos 6x + \dfrac{1}{2}\cos 2x + C$
B. $-\dfrac{1}{2}\cos 6x – \dfrac{3}{2}\cos 2x + C$
C. $3\sin 6x + 3\sin 2x + C$
D. $-\dfrac{3}{4}\cos 6x – \dfrac{3}{4}\cos 2x + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng công thức $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$. Ta có $6\sin 4x\cos 2x = 3(2\sin 4x\cos 2x) = 3(\sin 6x + \sin 2x)$. Khi đó $I = \int 3(\sin 6x + \sin 2x) dx = 3\left(-\dfrac{1}{6}\cos 6x – \dfrac{1}{2}\cos 2x\right) + C = -\dfrac{1}{2}\cos 6x – \dfrac{3}{2}\cos 2x + C$.
3. Tìm nguyên hàm $I = \int \sin 8x.\sin 2x\text{d}x$.
A. $\dfrac{1}{12}\sin 6x – \dfrac{1}{20}\sin 10x + C$
B. $-\dfrac{1}{12}\sin 6x + \dfrac{1}{20}\sin 10x + C$
C. $\dfrac{1}{20}\sin 10x – \dfrac{1}{12}\sin 6x + C$
D. $-\dfrac{1}{20}\sin 10x – \dfrac{1}{12}\sin 6x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng công thức $2\sin A \sin B = \cos(A-B) – \cos(A+B)$. Ta có $\sin 8x\sin 2x = \dfrac{1}{2} (\cos(8x-2x) – \cos(8x+2x)) = \dfrac{1}{2}(\cos 6x – \cos 10x)$. Khi đó $I = \int \dfrac{1}{2}(\cos 6x – \cos 10x) dx = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{6}\sin 6x – \dfrac{1}{10}\sin 10x\right) + C = \dfrac{1}{12}\sin 6x – \dfrac{1}{20}\sin 10x + C$.
4. Tính $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = -3\sin x.\cos 5x$.
A. $\dfrac{1}{4}\cos 6x – \dfrac{3}{8}\cos 4x + C$
B. $-\dfrac{1}{4}\cos 6x + \dfrac{3}{8}\cos 4x + C$
C. $-\dfrac{3}{4}\sin 6x + \dfrac{3}{8}\sin 4x + C$
D. $\dfrac{3}{2}\sin 6x – \dfrac{3}{2}\sin 4x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng công thức $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$. Ta có $-3\sin x\cos 5x = -\dfrac{3}{2}(2\sin x\cos 5x) = -\dfrac{3}{2}(\sin 6x + \sin(-4x)) = -\dfrac{3}{2}(\sin 6x – \sin 4x)$. Khi đó $F(x) = \int -\dfrac{3}{2}(\sin 6x – \sin 4x) dx = -\dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{1}{6}\cos 6x – (-\dfrac{1}{4}\cos 4x)\right) + C = -\dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{1}{6}\cos 6x + \dfrac{1}{4}\cos 4x\right) + C = \dfrac{1}{4}\cos 6x – \dfrac{3}{8}\cos 4x + C$.
5. Tìm nguyên hàm $I = \int 2\cos 4x.\cos x\text{d}x$.
A. $\dfrac{1}{5}\sin 5x + \dfrac{1}{3}\sin 3x + C$
B. $\dfrac{1}{5}\cos 5x + \dfrac{1}{3}\cos 3x + C$
C. $\sin 5x + \sin 3x + C$
D. $2\sin 5x + 2\sin 3x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng công thức $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$. Ta có $2\cos 4x\cos x = \cos(4x+x) + \cos(4x-x) = \cos 5x + \cos 3x$. Khi đó $I = \int (\cos 5x + \cos 3x) dx = \dfrac{1}{5}\sin 5x + \dfrac{1}{3}\sin 3x + C$.